Rezolvarea Numerică a Ecuațiilor Algebrice și Transcendente

1. Metoda înjumătăţirii intervalului (Bisecţiei)

Considerăm că ecuaţia are o singură rădăcină în intervalul şi că funcţia f este continuă pe acest interval. Această presupunere este valabilă, în condiţiile parcurgerii primei etape, aceea de separare a unei singure rădăcini într-un anumit interval.

Fie  eroarea admisă pentru soluţia ecuaţiei. Din punct de vedere grafic, rezolvarea ecuaţiei prin această metodă, este ilustrată în Fig.1. Intervalul iniţial se împarte în două părţi egale prin punctul:

Fig.1.

Se efectuează apoi produsul . Intervalul care conţine în continuare soluţia se notează . Situaţiile care pot apărea sunt următoarele:

În situaţia prezentată în grafic avem < 0. Cu intervalul se procedează în mod asemănător.

Rezultă două şiruri, crescător (sau constant pe porţiuni) şi descrescător (sau constant pe porţiuni) soluţia aflându-se în permanenţă în intervalul .

Lungimea acestui interval este:

Numărul minim de iteraţii nmin se determină funcţie de precizia  impusă calculelor:

Rezultă pentru nmin o expresie de forma:

unde [] reprezintă funcţia parte întreagă.

Valoarea nmin nu depinde de complexitatea ecuaţiei care se rezolvă ci numai de lungimea intervalului iniţial şi de precizia  impusă.

Orice valoare cuprinsă în intervalul final poate fi considerată ca fiind soluţie aproximativă pentru ecuaţia dată. De obicei se consideră

mijlocul ultimului interval determinat.

Aplicaţie: function rad_ec = bisectie_ec(a0,b0,max_err,max_it,index_f)

Unde: a0, b0 = extremităţile intervalului iniţial în care se cauta o rădacină

max_err = valoarea maximă admisă pentru eroare

max_it = numărul maxim de iteraţii admis

index_f = selector de funcţie, f, astfel:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function val = f(x,index)

% functia f :

switch index

case 1

val = x.^6 - x - 1;

case 2

val = x - exp(-x);

case 3

val = x.^3-x-2;

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Exemplu : bisectie_ec(0,1,0.001,20,2)

Se vor rezolva ecuaţiile date în atât prin limitarea numărului de iteraţii cât şi prin stabilirea unei erori maxime admise.

2. Metoda lui Newton (tangentei)

Considerăm că ecuaţia conţine în intervalul o singură soluţie . Grafic, rezolvarea ecuaţiei prin această metodă este ilustrată în Fig.2. De asemenea, considerăm că pe acest interval derivatele f' şi f" păstrează semn constant, deci f este strict monotonă şi

Fig.2.

nu are punte de inflexiune.

Ea presupune aproximarea soluţiei exacte printr-un şir de valori , ... obţinute prin intersecţia tangentelor duse la graficul funcţiei f în punctele A0, A1,... cu axa absciselor.

Punctul iniţial se alege ca fiind una din extremităţile intervalului şi anume aceea care îndeplineşte condiţia: