Propagarea perturbațiilor de durată finite

Perturbatia de tip armonic descrisa de functia de unda de forma

Ψ(t)= aeiωt

Constituie procese ipotetice ,deoarece Ψ(t) nv ar putea fi experimentata prin relatia de mai sus decat daca perturbatia ar incepe la momentul t1=-∞ si ar inceta la t2=∞.In cazul in durata perturbatiei Δt=t1-t2 ar fi finite,reprezentarea sub forma armonica nu ar fi posibila,ea s-ar reprezenta astfel:

Ψ(t)=

O functie marginita care prezinta astfel de discontinuitati poate fi reprezentata printr-o integrala Fourier

Ψ(t)=

Conform transformatei Fourier putem exprima coeficientii a(ω)

a(ω)=

Tinand seama de expresia lui Ψ(t) si de faptul ca integrala este nula in afara domeniului cuprins intre si se obtine

a(ω)= Ao

rezulta prin integrare:

a(ω)= Ao

notam: Δω = ωo-ω

τ = Δω•Δt

A= Ao•Δt

Se obtine

a(ω)=

Deficienta amplitudinii a(ω) in functie de τ arata ca o perturbatie de durata finita nu se caracterizeaza printr-o singura frecventa ω, amplitudinile a(ω) neavand valori semnificative decat pentru τ cuprins intre (-π si π)

OBS.

Daca ne-am limita numai la banda de frecvente

in care a(ω) are valori semnifivative,maximul

lui τ ar fi in valoare absoluta π.In acest caz abaterea

maxima Δω a frecventelor fata de ωo ar fi data de relatia :

Δω•Δt=π

In realitate a(ω) difera de zero si daca valoare lui τ

este mai mare decat π (maxime secundare) astfel ca putem scrie

Δω•Δt ≥ π

sau Δω•Δt≥2π rezulta Δω•Δt ≥ 4π

Aceasta ultima relatie da incertitudinea frecventei si a duratei propagarii .Ea arata ca daca Δt→∞ Δω→0,adica o perturbatie nu ar fi riguros armonica decat numai daca ea ar dura de la -∞ la +∞.Prturbatiile de durata finite ocupa intotdeauna o banda de frecventa cuprinsa intre ωo- Δω si ωo+ Δω cu atat mai larga cu cat Δt durata perturbatiei este mai mica .

Propagarea pachetului de unde

Fie o perturbatie de durata finita a carei frecventa are valori semnificative in domeniul

ωo – ≤ ω ≤ ωo +

Vectorul de unda al undei generate de aceasta perturbatie va avea valori cuprinse intre intre urmatoarele limite