Analiză matematică

Integrala definita

§ 1. Diviziuni

Def. Fie [a,b] un segm marg din R. Se num diviziune a segm [a,b] un sist de puncte =(xo,x1,...,xn) din [a,b] un sist de puncte a.i. a=xo< x1<...< xn=b.

Segm [xk,xk+1], k=0,n-1, se num segmente elementare.

§ 2. Definitia integralei definite.

Def. Fie [a,b] un interval închis mãrginit de numere reale si ¦:[a,b]®R o functie. Se aleg convenabil :=(xo,x1, ...,xk,xk+1,xn) o diviziune a intervalului [a,b] si x1,x2,...,xn un sistem de n puncte a.i. xkÎ[ xk,xk+1], k=0,n-1. Sistemul de puncte x se numeste sistem de puncte intermediare asociat diviziunii .

Def. Fie date urm obiecte:

1.un segm marginit [a,b] (a<b);

2.o functie ¦:[a,b]®R:

3.o diviziune r=(xo,x1, ...,xn) a segm [a,b];

4.un sist de n puncte x1,x2,...,xn a.i. xk£xk£ xk+1, num sist de puncte intermediare asociat diviziunii r.

Num real s(¦,xk) =S ¦(xk)(xk+1-xk)= S ¦(xk)rxk se num suma integrala Riemann asociata functiei ¦, diviziunii r si punctelor intermediare x1,x2,...,xn.

Def. Numarul real I se num ò Riemann sau ò def a functiei ¦ pe [a,b], d/a " num e >0 $ un num de >0 a.i. " diviziune r=x1,x2,...,xn are loc |s(¦,xk)-I|<e.

Integr se not cu : ò¦(x)dx.

Daca p/u functia ¦ $ integr def pe [a,b], ac f se num integrabila pe [a,b].

Def poate fi formulata pe scurt astfel: ò¦(x)dx=lim S ¦(xk)xk

T Orice fun integrabila pe un segm e/e marg pe ac segm.

Dem. Pres contrariul: fie ca fun ¦(x) /e integrabila pe [a,b], dar nu e/e marg pe ac segm. Ac inseamna ca pe segm [a,b] $ cel putin un punct x' in orice diviziune =(xo,x1,...,xn) a [a,b] si un sist de p intermediare xkÎ[xk,xk+1]. Fie ca p x' Î[xk,xk+1]. Sa scriem suma integrala asociata fun ¦, div  si p-lor interm xk : s(¦,xk)=S ¦(xk)xk+¦(xi)xi. In pres ca x' e/e unicul p pe [a,b] in vecinatatea caruia f(x) ia valori nemarg, d/a fixam p-le xk ,k¹I, suma S ¦(xk)xk ia o anumita valoare p si at s(¦,xk)=p+¦(xk)xk . Sa consideram valorile sumei integrale p/u diferite pozitii ale lui xk pe [xk,xk+1]. Cum x' fun f(x) ia valori nemarginit de mari, luind xk din ce in ce mai aproape de x', vom ajunge ca p/u orice numar da M>0 vor fi astfel de valori ¦(xk), incit |p+¦(xk)xk|>M, deci suma integrala va fi marginita si nu va mai avea o limita finita, ad f(x) nu va fi integrabila pe [a,b], ceea ce contrazice ipoteza. Astfel, pres ca f(x) e/e nemarg pe [a,b] e/e falsa.

§ Sume Darboux.

Def. Fie f:[a,b]®R o fun marg si =(x0,x1,...,xn) o diviz a [a,b]. notam mk-marginea inferioara a multimii f[xk,xk+1]; Mk-marg superioara a mult f[xk,xk+1]; s(T)=S mkxk;S(T)=S Mkxk; Sumele s(T) si S(T) se num sume Darboux ale fun f(x).

Lema 1. La diviziune T=(xk)nk=0 a [a,b] in segm elementare suma sup Darbouux e/e un majorant, iar suma inf D un minorant al sumei ò, ad are loc ineg d(T)£ s(T,x)£S(T), "x a punct interior

Dem. Din def marg sup si marg inf pe [xk,xk+1] e/e cuprinsa :mk£f(x)£Mk, "xÎ[xk,xk+1], insa xkÎ[xk,xk+1]=> mk£f(x)£Mk, k=0,n-1 k si sa adune toate ò obtinute, avem S mkxk£S f(xk)xk£ Mkxk

Lema 2. La diviz T suma sup D e/e marg sup, iar suma inf D e/e marg inf a sumelor integrale in raport cu modul de x de alegere a p-lor intermediare. Ad sunt adev eg. S(T)=sup s(T,x); s(T)=inf s(T,x).

Dem. Vom dem ò din ac eg. P/u a stabili S(T)=sup s(T,x) treb sa dem in baza unei T despre proprietatile cercetate unei margini sup. 1. "x avem s(T,x)£S(T) – Lema 1; 2. "e>0 $ x a.i. s(T,x)>S(T)-e. Din conditie avem ca Mk=sup f(x).

Lema 3. D/a la div T a [a,b] in segm elem adaugam puncte noi de diviziune, at suma inf Darboux poate doar sa creasca, iar suma sup D poate sa descreasca.

Dem. Fie d/a div T a [a,b] in segm elem T=(xn)nk=0 xo=a1, xn=b adaugam puncte noi de div, obt o div c/e contine T (T'>T). S'(T)£S(T'); S(T ')£S(T). Fie la div T adaugam un p nou de div c/e a nimerit pe [xk,xk+1], in rez obtinem T'=TÈ{x}

Mk=sup f(x); M'k=sup f(x); M"=sup f(x); M'k£Mk|x'-xk>0; M"£Mk|xk+1-x'>0

M'k(x'-xk)£ Mk(x'-xk) si M"k(xk+1-x')£ Mk(xk+1-x') adunind ac 2 ineg obt: M'k(x'-xk)+M'(xk+1-x')£Mk(xk+1-xk)

F/e marg sup se inmult la lung segm elem corespunzator ei. D/a in ambele parti ale acestei ineg vom si ceilalti termeni din suma D c/e au rmas neschimbate. S Mixi at dreapta vom obt S(T), iar in st num S(T')£S(T). Analog se dem si prima ineg.

Lema 4. Orice suma inf D nu intrece orice suma sup D, choiar daca ele se refera la div diferite s(Tl)£S(Tm) "Tl , Tm - diviziune [a,b].

Lema 5. " diviziune a [a,b] suma D inf e/e marginea inferioara, iar suma D sup e/e marg sup a sumelor integrale Riemann.

§ Criteriul Darboux de integrabilitate.

T P/u ca o fun ¦(x) marginita pe [a,b] sa fie integrabila pe ac segm e nec si suf ca " e >0 sa $ un d>0 a.i. oricare ar fi diviziunea  a [a,b] cu ||||<d sa fie verificata ineg S-s<e.

Dem. Nec. Fie ca fun f e/e integr pe [a,b] si I e/e integrala def a fun ¦ pe [a,b]. Ad "e>0 $d>0 a.i. " diviziune ||||<d are loc |I-S ¦(x1)xi|<1e. Ac ineg se verifica si p/u marg inf s si cea sup S ale sumelor integrale, adica: |I-s|<e/2 si |S-I|<e/2. De aceea " <d are lo si S-s=|(S-I)+(I-s)|£|S-I|+|I-s|=e/2+e/2=e. c.t.d.