Ecuații Diferențiale Ordinare de Ordinul Întâi Integrabile prin Cuadraturi

O ecuaţie diferenţială ordinară de ordinul întâi sub formă normală se prezintă printr-o egalitate de forma:

, (1)

unde este funcţia necunoscută (funcţie reală de o variabilă reală x, presupusă a fi definită şi derivabilă – cu derivata (ordinară) de ordinul întâi continuă - pe un interval , ), iar f este o funcţie reală continuă de două variabile reale: . Cele mai simple tipuri de astfel de ecuaţii se pot rezolva prin reducere la calculul unor primitive (integrare = cuadratură). Funcţia y(x) se determină astfel depinzând de o constantă arbitrară C (provenind de la mulţimea primitivelor), obţinându-se astfel o mulţime de soluţii. Această mulţime de funcţii y(x) constituie soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (1). În cele ce urmează vor fi prezentate câteva tipuri de ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul întâi.

I. Ecuaţii diferenţiale de forma

Soluţia generală a unei astfel de ecuaţii se obţine prin integrare: (2)

Exemplu. .

Rezolvare: , unde C este o constantă arbitrară reală. Pentru scrierea mai compactă a soluţiei generale, se poate înlocui , unde este o altă constantă arbitrară. Atunci .

Temă: .

Răspuns: .

II. Ecuaţii diferenţiale cu variabile separabile

Aceste ecuaţii se prezintă sub una din următoarele forme:

(3)

sau (4)

unde .

Se separă variabilele: , în condiţiile şi apoi se obţine soluţia generală a ecuaţiei prin integrare în ambii membri (este suficient a se considera o singură constantă C, într-un singur membru). Se va analiza dacă din sau se obţin alte soluţii ale ecuaţiei date (soluţii singulare ale ecuaţiei diferenţiale, adică soluţii care nu se pot obţine din soluţia generală pentru nici o valoare a constantei C).

Exemplul 1.

Rezolvare: Ecuaţia se scrie: , apoi . Se separă variabilele: , pentru . Integrând rezultă soluţia generală a ecuaţiei:

, unde C este o constantă arbitrară reală. Aceasta din urmă egalitate defineşte funcţia implicit, de aceea se spune că generală a ecuaţiei este dată sub formă implicită. Se observă că este soluţie singulară a ecuaţiei date ( , deci verifică ecuaţia şi nu este inclusă în soluţia generală, neobţinându-se pentru nici o valoare a constantei C).

Se observă că este o valoare particulară a variabilei independente x din ecuaţia dată, deci nu este soluţie (este soluţie a ecuaţiei adusă la acelaşi numitor, care nu este echivalentă cu ecuaţia dată).

Temă: 1.

2.

3.

4.

Răspunsuri: 1.

2.

3.

4. , .

II’ . Ecuaţiile de forma:

, , (5)

se reduc la ecuaţii cu variabile separabile prin schimbarea de funcţie , unde este noua funcţie necunoscută. Într-adevăr: , de unde .

Exemplul 2.

Rezolvare: Prin schimbarea de funcţie şi ecuaţia devine

Ecuaţia cu variabilele separate se mai scrie , de unde prin integrare se obţine:

, deci soluţia generală a ecuaţiei este .

Condiţia induce , de unde

, care verifică ecuaţia dată, fiind soluţii singulare.

Temă: 1.

2.

Răspunsuri: 1.

2.