Modelare economică și calcul neuronal

Fie sistemul de ecuatii:

(1)

unde functiile fk:A Rn, A deschis, fk C1(A), iar Jacobianul

( ) x=(x1, x2, ..., xn) A (2)

Soluţia y=(y1, y2, ..., yn) A a sistemului (1) se determina cu ajutorul sirului aproximatiilor succesive, astfel:

Se alege (arbitrar) prima aproximaţie a soluţiei y:

x(0)=(x(0)1, x(0)2, ..., x(0)n) A (3)

[x(2)] = [x(1)]-[Jf x(1)]-1•[f(x(1))]  A

…

[x(m)] = [x(m-1)]-[Jf x(m-1)]-1•[f(x(m-1))]  A

unde, (5)

(6)

(7)

unde k = 0,1,2,...,m,...

Aproximaţia y=x(m) se consideră satisfacătoare când

, (8)

unde >0, dar suficient de mic, reprezintă precizia soluţiei, prescrisă iniţial.

Programul SISTEM_NELINIAR utilizează două subprograme: funcţia FUNCTIE şi procedura INVERSARE.

Programul principal îndeplineşte următoarele funcţiuni:

• asigura introducerea interactiva a valorilor variabilelor de intrare (dimensiunea spatiului) Rn, nN*, precizia impusă eps, numărul de iteraţii limită nmax, creşterea necesară evaluării numerice a derivatelor parţiale h, elementele primei aproximaţii (3), x1[i], 1  i  n;

• realizează prelucrările corespunzătoare evaluării aproximaţiilor succesive (4) ale soluţiei sistemului (1), respectiv:

- calculează vectorul [f(x(k))], conform nr. (6);

- calculează matricea [Jf(x(k))], conform nr. (7); evaluând numeric derivatele corespunzătoare;

- calculează, cu ajutorul procedurii INVERSARE, matricea inversă [Jf(x(k))]-1;

- evaluează distanţa (8) dintre două aproximaţii succesive;

- repetă toate prelucrările anterioare, până când se atinge precizia dorită, sau se atinge numărul de iteraţii limită, nmax;

• afişează ultima aproximaţie a soluţiei, distanţa dintre ultimele două aproximaţii succesive şi numărul de iteraţii efectuat.

Funcţia FUNCTIE calculează valorile funcţiilor fi, 1  i  n, în punctul curent x=(x1,x2,...,xn). Parametrii n şi nfunc precizează dimensiunea spaţiului Rn şi, respectiv, poziţia i a funcţiei fi în vectorul [f(x)]. Subprogramul FUNCTIE utilizează, în afară de funcţiile standard din limbajul PASCAL, o serie de funcţii definite în interiorul sau, care pot fi necesare ca explicitarea funcţiilor fi, 1  i  n, respectiv:

• funcţia PUTERE(e,v), care evaluează funcţia ve, variabila fiind v;

• funcţia EXPA(e,v), care evaluează funcţia ev, variabila fiind v;

• funcţiile hiperbolice sh(v) şi ch(v), care evaluează funcţiile shv şi chv;

• funcţiile asin(v) şi acos(v), care evaluează funcţiile arcsin v şi, respectiv, arccos v.

Procedura INVERSARE realizează calculul matricei jacobiene inverse [Jf(x(k))]-1, în punctul x(k)=(xk1, ...,xkn), utilizând procedura SISTEM, care rezolva un sistem liniar de n ecuaţii cu n necunoscute, prin metoda eliminării Gauss, cu pivotare completă.

Programul sursa

PROGRAM SISTEM_NELINIAR;

{REZOLVA UN SISTEM NELINIAR N x N PRIN METODA APROXIMATIILOR SUCCESIVE. A LUI NEWTON}

CONST Dim = 10;

TYPE

vector = array[1..Dim] OF real;

matrice = array[1..Dim,1..Dim] OF real;

VAR

x,x1,x2,f: vector;

a,b: matrice;

n,nmax,i,j,k: integer;

eps,h,suma,dist: real;

FUNCTION FUNCTIE(n,nfunc: integer; x: vector): real;

{calculeaza valoarea functiei fi in punctul x}

CONST alfa = 1E-20;

FUNCTION PUTERE(e,v:real):real;

{functia 'v la puterea e', argument v}

VAR t: real;

BEGIN

t := e*ln(v); PUTERE := exp(t)

END;{PUTERE}

FUNCTION EXPA(e,v: real): real;

{functia 'e la puterea v', argument v}

VAR t: real;

BEGIN

t := v*ln(e); EXPA := exp(t)

END;{EXPA}

FUNCTION SH(v: real):real;

{functia sh(v)}

VAR

i: integer;

p,sum: real;

BEGIN

sum := v; p := v; i := 2;

REPEAT

p := p*sqr(v)/(i*(i+1));

sum := sum + p; i := i + 2

UNTIL p < alfa;

SH := sum

END;{SH}

FUNCTION CH(v: real):real;

{functia ch(v)}

VAR

i: integer;

p,sum: real;

BEGIN