Structuri factor în algebră clasică

INTRODUCERE

Lucrarea tratează problema factorizării unei structuri algebrice sub cele doua forme posibile:

- factorizarea structurii in raport cu o substructură a sa;

- factorizarea structurii in raport cu un sistem multiplicativ.

În capitolul 1 sunt prezentate construcţiile clasice ale mulţimii factor, a grupului factor şi a modulului factor cu evidenţierea proprietăţii de universalitate corespunzătoare şi prezentarea teoremelor de izomorfism.

În capitolul 2 se prezintă construcţia clasică a corpului numerelor raţionale Q ca model de bază pentru extensiile următoare.

În capitolul 3 este prezentată construcţia inelului de fracţii şi a corpului de fracţii cu evidenţierea principalelor proprietăţi ale acestora.

În capitolul 4 se prezintă construcţia modulului de fracţii şi sunt date teoremele lui Goldie.

În capitolul 5 sunt prezentate noţiunile fundamentale ale teoriei categoriilor şi functorilor necesare fundamentării următorului capitol.

În capitolul 6 sunt prezentate instrumentele de bază necesare generalizării factorilor în raport cu o topologie de ideale: radicali şi preradicali, teorii de torsiune, pretopologii şi topologii aditive.

În capitolul 7 se prezintă construcţia inelelor si modulelor de câturi în raport cu o topologie aditivă ale inelului R.

Lucrarea nu îşi propunea acoperirea întregii problematici, punându-se

accentul pe construcţia structurilor respective şi nu pe analiza proprietăţilor

ce se conserva prin factorizare.

Fie A,B mulţimi nevide

Definiţie: O submulţime RAxB ,a produsului cartezian AxB se numeşte relaţie între elementele lui A şi elementele lui B.

Notam: Faptul că perechea (a,b)ЄR ,prin aRb şi citim a în relaţie R cu b. Putem exprima relaţia R şi sub forma R={(a,b)ЄAxB/aRb}

In particular dacă A=B o relaţie RAxA se numeşte relaţie între elementele lui A sau relaţie pe A.

Definiţie: Fie A,B,C mulţimi nevide si RAxB SBxC.Atunci S compus cu R

S o R ={(x,y)ЄAxC/yЄB a.î (x,y)ЄR; (x,y)ЄS} este o relaţie pe AxC numită compunerea relaţiilor R şi S.

Proprietate: (asociativitatea compunerii relaţiilor)

Fie A o mulţime nevidă Relaţia 1A={(x,y)ЄAxA /x=y} se numeşte relaţia de egalitate pe A.

Proprietate: Fie A,B≠ø pentru orice relaţie RAxB avem R o 1A=1B o R=R.

Definiţie: Fiind dată o relaţie RAxB numim relaţia inversă şi o notăm cu R-1BxA relaţia definită prin R-1={(x,y)ЄBxA /yRx} adică xR-1y yRx

Proprietate: Fie A,B,C mulţimi nevide RAxB,SBxC – relaţii

Atunci (S o R)-1=R-1 o S-1

Proprietate: Dacă RAxB este o relaţie atunci (R-1)-1=R

Proprietate:Fie A,B,C–mulţimi nevide R,Ŕ  AxB ;S,Ś BxC- relaţii

Atunci : a) dacă RŔ => S o R  S o Ŕ

b) dacă SŚ => S o R  Ś o R

Fie R o relaţie pe mulţimea A

Relaţia R se numeşte:

a) reflexivă: dacă xRx, ЄA

b) simetrică: dacă xRy => yRx

c) tranzitivă: dacă xRy si yRz => xRz

Definiţie: O relaţie R pe A se numeşte relaţie de echivalenţă dacă ea este reflexivă,simetrică şi tranzitivă.

Proprietate: Dacă R este o relaţie pe A atunci:

a) R este reflexivă  1AR

b) R este simetrică  R-1R (caz în care R-1=R)

c) R este tranzitivă  R o R  R

Definiţie: Fie A o mulţime şi (Ai)iЄI o familie de submulţimi ale lui A, (Ai)iЄI se numeşte partiţie a lui A dacă au loc condiţiile:

a) Ai ≠  , ЄI

b) Ai ∩ Aj ≠ ЄI i≠j

Definiţie: Fie A o mulţime şi R o relaţie de echivalenţă pe A.Pentru orice xЄA,mulţimea Rx ={yЄA/yRx} se numeşte clasă de echivalenţă a elementului x.

Proprietate: Dacă R este o relaţie de echivalenţă pe A atunci mulţimea {Rx /xЄA} a tuturor claselor de echivalenţă constituie o partiţie a lui A şi se notează A/R

Definiţie: A/R se numeşte mulţimea factor sau mulţimea c@t a lui A prin R.

EXEMPLE:

Considerăm mulţimea Z împreună cu relaţia de congruenţă modulo n

Z, (mod n)n N*

x, y Z, x y(mod n) z Z a. î. x - y = nz

Dacă Cx: = se pune întrebarea cine este Z / Z / :=Zn={0,1,2, ,n-1}

x Z şi n N aplicăm teorema împărţirii cu rest pentru numere

întregi:

! q, r z ,0 r n-1 a. î. x= nq+ r

x - r = nq x = r(mod n) x = r

Deci x Z, r (0, n-1) a. î. x r.

Se consideră Z x Z*={(m,n):m Z, n Z*} şi se introduce o relaţie de

echivalenţă:

(m, n) ~(m’, n’) mn’= nm’

Definiţie: Se numeşte număr raţional orice clasă de echivalenţă în raport cu relaţia de echivalenţă introdusă.

C(m ,n): = m / n.

Fie funcţia f: M P. Putem defini o relaţie de echivalenţă pe mulţimea M asociată funcţiei f, notată cu ρf în modul următor : x ρf y f(x)= f(y).

Proprietăţile acestei relaţii sunt:

- x ρf x f(x) = f(x) deci este reflexivă

- x ρf y f(x) = f(y) f(y) = f(x) y ρf x deci este simetrică

- x ρf y şi y ρf z f(x)= f(y) şi f(y)= f(z) f(x) = f(z) deci este tranzitivă

Avem Cx = { y : y M, f(y)= f(x)} iar mulţimea factor în raport cu aceasta relaţie este Imf

Fie M o mulţime şi ρ M x M o relaţie de echivalenţă pe M.

Dacă notăm cu N mulţimea claselor de echivalenţă ale mulţimii M în raport cu relaţia de echivalenţă ρ, atunci putem defini funcţia p : M N astfel: pentru x M, p(x) este clasă de echivalenţă în care se află x, p este corect definită, adică nu depinde de alegerea reprezentanţilor:

x , y M, cu x ρ y f(x)= C x= C y = f(y).

Funcţia p este surjectivă şi din definiţia claselor de echivalenţă ale mulţimii M în raport cu relaţia de echivalenţă ρ ρ p= ρ Mulţimea N a claselor de echivalenţă ale mulţimii M in raport cu relaţia de echivalenţă ρ se numeşte mulţime factor (sau mulţime cât) a lui M în raport cu relaţia de echivalenţă şi se notează M / ρ iar funcţia p : M N, definită mai sus, este numită surjecţia canonică.

O submulţime de elemente M’ a mulţimii M se numeşte sistem de reprezentanţi ai claselor de echivalenţă în raport cu relaţia de echivalenţă ρ dacă în orice clasă de echivalenţă există un element din M’ şi numai unul singur.

Fie p : M N o funcţie surjectivă. Dacă considerăm pe M relaţia de echivalenţă ρp asociată lui p, atunci se observă că mulţimea factor a lui M în raport cu relaţia de echivalenţă ρp este