Modele matematice pentru evaluarea factorilor de risc

Tema nr. 1 - PROBABILITATEA

In spatele cuvantului probabilitate, care in vorbirea curenta reprezinta un anumit grad de incredere subiectiv in producerea unui eveniment, se afla un intreg ansamblu conceptual dezvoltat de teoria probabilitatilor. Mai mult, conceptul de probabilitate are implicatii filozofice si psihologice majore, precum si numeroase interpretari. Insa niciuna din interpretarile sale nu poate face abstractie de definitia matematica.

"Numim probabilitate a unui eveniment raportul dintre numarul situatiilor favorabile pentru ca evenimentul sa se produca si numarul tuturor situatiilor egal posibile." Aceasta este definitia simplista pe care o stie oricine si care reprezinta definitia probabilitatii pe un camp finit de evenimente.

Teoria probabilitatilor extinde aceasta definitie pe o multime de evenimente mai complexa (sigma-camp de evenimente), inzestrata cu o anumita structura matematica, si defineste pe aceasta multime o functie cu anumite proprietati. Aceasta functie - numita probabilitate - este de fapt o masura pe un camp de evenimente, cu valori in intervalul [0, 1].

Initial, teoria probabilitatilor a avut ca origine modelul reprezentat de jocurile de noroc, in special in Franta secolului al XVII-lea, fiind inaugurata de corespondenta dintre Fermat si Pascal. Axiomatizarea sa completa a trebuit să astepte insă lucrarea lui Kolmogorov “Fundamentele teoriei probabilitatilor”, publicata in 1933. Cu timpul, teoria probabilitatilor a gasit multiple modele in natura, devenind o ramura a matematicii cu aplicatii din ce in ce mai numeroase.

In fizica, teoria probabilitatilor a devenit un instrument de calcul de baza, odata cu crearea termodinamicii si, mai tarziu, a fizicii cuantice.

Teoria probabilitatilor studiaza legile după care evolueaza fenomenele aleatoare.

Iata cateva exemple de fenomene aleatoare:

1. Cel mai simplu exemplu este dat de experimentul care consta in aruncarea zarului, rezultatul experimentului fiind dat de cifra aratată de zar la oprire. Repetand experimentul de un numar de ori, nu putem prevedea care va fi cifra aratata de zar dupa fiecare aruncare, deoarece aceasta depinde de multi factori intamplatori (impulsul initial al zarului, pozitia lui in momentul aruncarii, particularitatile suprafetei pe care se rostogoleste, etc.)

2. O persoana face zilnic drumul intre casa si locul de munca. Timpul drumului nu este constant, ci prezinta variatii datorate factorilor intamplatori (trafic, conditii meteo, etc.)

3. Nu se poate prevedea numarul de rateuri la un anumit numar de trageri asupra unei tinte.

4. Nu stim dinainte care vor fi numerele ce se vor extrage la loto.

In aceste experimente, conditiile esentiale ale experimentului raman neschimbate. Toate variatiile au loc datorita unor factori secundari, care influentează rezultatul experimentului. Din multitudinea factorilor care intervin in fenomenele studiate, ii vom selectiona pe cei decisivi si vom neglija influenta factorilor secundari. Aceasta metoda este uzuala in studiul fenomenelor fizice, mecanice si in aplicatii tehnice.Intamplarea si complexitatea, multitudinea cauzelor care intervin, conduc la metode speciale de studiere a fenomenelor aleatoare, metode elaborate de teoria probabilitatilor.

Teoria probabilitatilor se poate aplica numai acelor fenomene care prezinta o anumita stabilitate a frecventelor relative in jurul probabilitatii (fenomene omogene de masa). Aceasta este baza legaturii teoriei probabilitatilor cu lumea reala, cu practica de toate zilele. Deci, definitia stiintifica a probabilitatii trebuie sa reflecte, in primul rand, comportarea reala a fenomenului.

Probabilitatea nu este expresia gradului subiectiv de incredere a omului in producerea evenimentului, ci caracterizarea legaturii obiectiv existente intre conditii si eveniment, intre cauza si efect. Probabilitatea unui eveniment are sens atata timp cat ansamblul de conditii ramane neschimbat, orice modificare a acestor conditii atragand dupa sine modificarea probabilitatii si deci modificarea legii statistice a fenomenului.

Practic nu exista domenii stiintifice in care teoria probabilitatilor sa nu fie aplicata. De asemenea, sociologia foloseste calculul probabilistic drept instrument principal. Mai mult, unele domenii comerciale se bazeaza pe probabilitati (printre altele, asigurari, pariuri, cazinouri).

Calculul probabilistic

Efectuarea unui calcul probabilistic inseamna a gasi probabilitatea numerica a unui eveniment, prin aplicarea proprietatilor probabilitatii si operarea calculelor pentru parametrii specifici aplicatiei sau problemei respective.

Nu trebuie sa fiti matematician si nu trebuie sa aprofundati notiunile teoriei probabilitatilor pentru a putea efectua calcule probabilistice pentru aplicatii finite. Abilitatile de calcul probabilistic pot fi dezvoltate prin procedee algoritmice. Singurele lucruri care trebuie stiute dinainte sunt principalele definitii si un set de formule. Si abilitatile de calcul combinatoric sunt binevenite. In afara acestor cunostinte minime de teoria probabilitatilor si combinatorica, singura cerinta pentru rezolvitorul care nu este matematician este aceea de a stapani bine cele patru operatii cu numere reale si calculul algebric de baza.

Teoretic, orice problema de calcul probabilistic, oricat de complexa ar fi, poate fi descompusa in aplicatii succesive elementare care utilizeaza formule de baza, insă de cele mai multe ori finalizarea calculului poate fi anevoioasa sau chiar practic imposibila, ca sa nu mai vorbim de riscul crescut al aparitiei greselilor in cadrul unei succesiuni foarte lungi de calcule. Utilizarea combinatoricii sau chiar a repartitiilor probabilistice clasice pot rezolva de multe ori in mod simplu si elegant astfel de probleme in care rezolvarea "pas cu pas" este prea anevoioasa si supusa erorilor de calcul.