Modelare Modele Liniare

Astăzi este de neconceput progresul – aspirație generală a omului- fără utilizarea modelării matematice în cvasi-totalitatea domeniilor activității sale. Creșterea complexității structurilor de orice fel, a structurii organizatorice a societății în general face ca adoptarea deciziilor de conducere eficientă să nu mai poată fi posibilă cu ajutorul tehnicilor clasice. Este nevoie din ce în ce mai mult de o informație amplă, precisă și rapidă, de estimarea cantitativă și prognoza consecințelor deciziilor adoptate. În acest sens, modelarea a venit în întâmpinarea cerințelor practicii prin dezvoltarea unor metode, cum sunt cele ale cercetărilor operaționale, care permit analiza obiectivă a acestora și a deciziilor posibile, oferind astfel posibilitatea conducerii eficiente a proceselor sau fenomenelor modelate.

Aparatul matematic utilizat în cadrul modelării este deosebit de variat. Cel mai frecvent însă, în elaborarea deciziilor se folosesc modele ale programării matematice – domeniu care elaborează teoria și metodele numerice de rezolvare a problemelor de extremum multidimensionale cu restricții, adică a problemelor de extremum al funcțiilor de mai multe variabile cu restricții în ceea ce privește domeniul de variație. Programarea matematică grupează o clasă foarte mare de probleme de optimizare care s-au dezvoltat de sine stătător și apelează la metode specifice de rezolvare. Astfel, fără pretenția de a cuprinde întregul domeniu, putem aminti: programarea liniară, programarea convexă, programarea neliniară, programarea dinamică, probleme de programare în rețea, programarea discretă, programarea stochastică etc.

Între diferitele tipuri de probleme există strânse legături (de exemplu programarea liniară face parte din programarea convexă, care la rândul ei este o parte a programării neliniare etc.), progamarea matematică începând să semene din ce în ce mai mult cu o teorie unitară a problemelor de extremum.

În termeni foarte generali și, drept urmare, mai puțin preciși într-un model de programare matematică se cere determinarea extremumului unei funcții pe o mulțime de restricții dată. Funcția respectivă, în problemele concrete, reprezintă o măsură a gradului de satisfacere a unui scop precizat, deci o formulare matematică a unui obiectiv urmărit.

Modele liniare

Modelul liniar de optimizare în formă general a fost elaborate și studiat de L.V. Kantorovici, fondatorul programării liniare.

Orice model asociat conceptului de sistem este o imagine incompletă a acestuia ( sau a unui proces care are loc în cadrul lui) care există sau care urmează a fi construită. Modelul trebuie validat în vederea determinării gradului de aplicabilitate și utilității sale, iar dacă trece acest prag, el trebuie să serevască la determinarea, comportamentului sistemului în diferite situații, să permită astfel fundamentarea deciziilor și acțiunilor asupra sistemului. Un prim scop al oricărui model este de a descrie legăturile dintre elementele constitutive ale sistemului. Dacă aceste legături pot fi descrise prin relații liniare, modelul rezultat va fi un model liniar. În majoritatea sistemelor agricole găsim legături care se pot exprima prin relații liniare ( legături de tip balanță a utilizării diferitelor resurse, în general, relațiile care se stabilesc între obiective și resurse, între producție și factorii de producție etc.) Desigur, unele tipuri de legături dintre elementele componente ale sistemelor agricole nu pot fi exprimate prin relații liniare. Este cazul legăturilor de tip cauzal, a celor care se stabilesc între diversele variabile ale sistemului atunci cand se ține cont de evoluția lor în timp, s.a.

Este evident însă că un model va fi aplicabil dacă raspunde scopului cercetării. Dacă acest scop poate fi atins prin aproximarea liniară a legăturilor dintre elementele sistemului considerat, atunci modelele liniare sunt binevenit. Dacă scopul urmărit nu poate fi atins prin astfel de aproximări, atunci trebuie să se apeleze la alte clase de modele decât cele liniare (neliniare, stochastice, de tip joc, de programare în rețea etc.)

Există numeroase situații practice în care se caută un comportament optim al sistemului ținând cont de diferite restricții.

Analiza matematică este un instrument esențial pentru formularea și studierea acestor probleme de maximizare (minimizare) cu restricții. Modelele liniare sunt caracterizate de faptul că relațiile funcționale care intervin sunt liniare. Pentru astfel de relații (funcții), derivatele parțiale de prim ordin sunt constante nenule, iar derivatele parțiale de ordin doi sunt nule. În general deci, nici condițiile de primul ordin, nici cele de ordinul doi întâlnite în problemele de extrem tratate de analiza matematică nu pot fi satisfăcute. S-au dezvoltat însă alte tehnici și instrumente care permit rezolvarea problemelor de optimizare ce comportă relații funcționale liniare. De exemplu, dacă ne referim la sistemul de producție agricolă, o activitate de producție liniară este un proces de producție din care se obțin unul sau mai multe out-puturi în proporții fixe, cu ajutorul unuia sau mai multor inputuri în proporții fixe. Un astfel de proces este omogen de gradul I și cu randamente de scară constante. Dacă se măresc (sau se micșorează) toate cantitățile de inputuri proporțional, se va mări ( sau micșora) cantitatea de output în același raport.

Fie o activitate de producție liniară care permite producerea unui output pornind de la m input-uri. Această activitate este descrisă de un ansambul de coeficienți ai (i=1,...,m) care dau cantitățile de input-uri necesare pentru a produce o unitate de output. Cantitățile de input-uri necesare producerii unui nivel dat al output-ului (q) sunt determinate în mod unic de relația: xi=a*.q, i= 1,...,m. [1]