Temă matematici financiare și actuariale

1. Sa se studieze natura seriilor numerice :

a)Rezolvare : Pentru a studia convergenta acestei serii, mai intai vom calcula limita sirului sa testam conditia necesara de convergenta a unei serii :

Deci nu este indeplinit criteriul necesar de convergenta a unei serii care spune :

Deci putem spune ca seria :

1.b) Sa se studieze natura seriilor numerice :

Rezolvare :

Vom proceda la fel ca mai sus, vom testa limita sirului de sub suma:

Ca si la punctul a) avem un sir cu limita diferita de 0 deci seria:

2. Sa se determine multimea de convergenta a seriei :

Rezolvare :

Pentru a stabili multimea de convergenta a seriei :

vom folosi criteriul lui d’Alembert (criteriul raportului cu limita) :

Presupunem ca exista

cu

Conform criteriului lui d’Alembert seria corespunzatoare acestui sir este convergenta daca p<1.

Intervalul este inchis in –2 deoarece se stie ca seria :

este convergenta dar nu absolut convergenta. Deci

3. Sa se dezvolte in serie Mac-Laurin functiile :

a)

b)

Rezolvare :

a) Dezvoltarea in serie Mac-Laurin a functiei :

este

Deci vom avea pentru functia

urmatoarea dezvoltare:

b) dezvoltarea in serie Mac-Laurin pt functia :

Dezvoltarea in serie pentru aceasta functie se deduce pornind de la suma unei serii geometrice de ratie x.