Exerciții de probabilitate și statistică descriptivă

1. Variabila aleatoare discreta X ia valorile k 2 f1; 2; 3; 4g cu probabilitatiile P(X = k) =

c=k: Sa se determine valoarea lui c si sa se calculeze probabilitatea P(1 · X · 3):

2. Sa se determine o varibila aleatoare ce caracterizeaza rezultatele aruncarii monedei de

1 Euro. Sa se scrie repartitia variabilei aleatoare corespunzatoare, functia de repartitie

corespunzatoare si sa se faca graficul lor!

3. Fie X o variabila aleatoare care ia valorile 0; 1; 2; : : :: Daca se stie ca pentru orice k 2 N

probabilitatea evenimentului fX = kg este procentuala cu 1=k!; atunci sa se determine

probabilitatile P(X = k):

4. O variabila aleatoare X ia valorile ¡2; 0 si 3; cu probabilitatiile P(X = ¡2) = 1=6;

P(X = 0) = 1=2 si P(X = 3) = 1=3: Sa se scrie functia de repartitie a variabilei X si sa

se deseneze graficul acestei functii!

5. Într–o fabrica de textile se fabrica cinci modele de pulovere ce necesita continutul a

urmatoarelor cantitati de lâna: 440; 450; 480; 600; respectiv 640 g. Vânzarea modelelor

de pulovere este diferita. Astfel, din statistici s–a constatat ca interesul clientilor fata

de modelele de pulovere este: 30% pentru primul model, 10% pentru al doilea, 10%

pentru al treilea, 25% pentru al patrulea si 25% pentru al cincilea. Daca fabrica urmeaza

statisticile cât va fi valoarea asteptata [media] si varianta cantitatii de lâna necesara

pentru un pulover?

6. Fie f : R ! R definita prin relatia:

f(x) =

8>>>>>>><

>>>>>>>:

0; daca x < a

x ¡ a

3 ¡ a

; daca x 2 (a; 3)

1; daca x 2 (3; a + 1)

4 ¡ x

3 ¡ a

; daca x 2 (a + 1; 4)

0; daca x > 4

;

unde a 2 [2; 3): Sa se demonstreze ca f este o functie de densitate! Sa se deseneze graficul

functiei f si sa se determine functia de repartitie a variabilei X: Pentru ce valoare a lui

x0 avem P(X ¸ x0) = 0:5? Sa se determine a astfel încât P(X < 2:5) = 0:125:

7. Sa se demonstreze ca daca X ia valori în intervalul [a; b]; atunci M(X) 2 [a; b]:

8. Fie X numarul ce apare pe fata la aruncarea unui zar. Fie Y = X ¡3 si Z = (X2 ¡X)3:

Sa se determine repartitia variabilelor X; Y si Z; apoi sa se deseneze graficul functiilor

de repartitie al variabilelor X; Y si Z:

9. Sa se determine a si b astfel încât functia F : R ! R; definita prin relatia F(x) =

a + b arctan x; sa fie o functie de repartitie!

10. Variabila aleatoare discreta X ia valorile 0; 1; 2; : : : ; n: Sa se demonstreze ca are loc relatia

M(X) = P(X > 0) + P(X > 1) + : : : + P(X > n ¡ 1):

11. Andrei si Pavel joaca cu doua zaruri. Andrei plateste lui Pavel, daca pe zarurile aruncate

apar numere impare. Pavel plateste lui Andrei daca pe un zar [si numai pe un zar] apare

un numar par. Daca are loc o alta situatie nici unul nu plateste nimic. La ce suma sa se

înteleaga Andrei si Pavel ca jocul sa fie cinstit?

12. Dintr-un pachet de carti cu 32 elemente se alege aleator o carte. Fie X numarul de

valoare a cartii alese, adica X sa ia valorile: 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11. Sa se determine

functia de repartitie a variabilei X si sa se deseneze graficul! Care este valoarea asteptata

[media] a numarului de valoare a cartii alese?

13. Functia de repartitie a variabilei X este F(x) = sin x; daca x 2 [0; ¼=2] si F(x) = 0; daca

x =2 [0; ¼=2]: Sa se determine valoarea asteptata [media] si varianta variabilei X:

14. Fie X numarul aruncat cu un zar. Care este varianta lui X? Ce se întâmpla daca „zarul”

are n laturi?

15. Variabila aleatoare X ia valorile 1; 2; 3; 4; : : : cu probabilitatiile y; x; x2; x3; : : : ; unde

x; y 2 (0; 1): Sa se demonstreze ca M(X) > 1:

16. Daca Andrei la prima aruncare cu un zar arunca sase, atunci primeste de la Pavel 1$.

Daca la a doua aruncare arunca sase, primeste 2$, daca la a treia aruncare arunca sase,

primeste 3$, etc. La câti dolari poate sa se astepte Andrei de la acest joc?

17. La un anumit examinator timpul de examinare, ca variabila aleatoare are functia de

densitate f(x) = 5x4=32; daca x 2 (0; 2) si f(x) = 0; daca x =2 (0; 2): Sa se determine

valoarea asteptata [media] si varianta timpului de examinare!

18. Fie functia de repartitie F : R ! [0; 1] a variabilei X definita prin relatia

Sa se determine valoarea asteptata [media] si varianta variabilei X:

19. Timpul petrecut de clienti într-un restaurant, masurat în minute, este caracterizat de

functia de repartitie:

F(x) =

8>>>><

>>>>:

0; daca x · 0

x=60; daca x 2 (0; 30]

1=2; daca x 2 (30; 60]

x=120; daca x 2 (60; 120]

1; daca x > 120