Modelul Liniar Multiplu

Capitolul 2.

MODELUL LINIAR MULTIPLU

2.1. Forma modelului

În general fenomenele economice pe care dorim sa le modelam prin econometrie sunt complexe si nu pot fi reprezentate printr-un model liniar simplu. Modelul liniar multiplu corespunde mai bine acestei necesitati, introducând mai multe variabile explicative.

(2.1)

- indexeaza observatiile

- numarul de observatii

- variabila endogena la momentul (sau observatia cu rangul t )

- este realizarea variabilei explicative 1 la momentul (sau observatia cu rangul t)

- este realizarea variabilei explicative 2 la momentul (sau observatia cu rangul t)

- este realizarea variabilei explicative k la momentul (sau observatia cu rangul t)

- este realizarea în t a variabilei reziduale

- parametrii de estimat ai modelului.

Sub forma din ecuatia 1.1 modelul este greu de utilizatat, fapt pentru care vom prefera o forma mai condensata, matriciala. Daca rescriem modelul observatie cu observatie, obtinem:

ceea ce sub forma matriciala (între paranteze numarul de linii si respectiv de coloane) devine:

(2.2)

unde:

Prima coloana a matricei X contine doar valoarea 1, care corespunde coeficientului . Astfel matricea X are T linii si k+1 coloane (k variabile explicative plus constanta).

2.2. Estimarea parametrilor

Consideram modelul sub forma matriciala, cu k variabile explicative si T observatii:

Pentru estimarea componentelor vectorului , având ca si componente coeficientii aplicam ca si la modelul liniar simplu metoda patratelor minime (MPM), minimizând suma patratelor erorilor.

Notam:

(2.3)

unde :

este vectorul transpus al lui ;

este vectorul transpus al lui ;

este vectorul transpus al lui ;

este transpusa matricii .

Pentru a minimiza expresia, derivam în raport cu a :

(2.4)

(2.5)

Aceasta solutie este realizabila daca matricea patratica este inversabila. Matricea este este neinversabila doar în caz de coliniaritate perfecta între oricare doua variabile explicative.

1.3. Ipoteze fundamentale asupra modelului

- H1 : ; variabila reziduala este de medie nula ;

- H2 : si reprezinta valori numerice observate fara erori

- H3 : Modelul este liniar în raport cu sau o transformare a lui (logaritm, inversiune, etc.) ;