Calcul numeric

Fie a ?R =i a* ?R un num[r ,,apropiat" de a. Num[rul a se nume=te valoare exact[ iar a* ?R ,

aproximaie a lui a. }n aceast[ situaie vom nota: a ? a*

Se nume=te eroare, m[rimea ?a = a - a*

Se nume=te eroare absolut[ m[rimea:

? = ?a = a - a* (1.1)

Deoarece valoarea exact[ ,,a" este ]n general necunoscut[, eroarea absolut[ este =i ea ]n general

necunoscut[.

Se nume=te margine superioar[ a erorii absolute orice num[r R a ? ? care majoreaz[ eroarea

absolut[:

a

? = a - a* <= ? (1.2)

Avem evident:

a

*

a

a* - ? <= a <= a + ? (1.3)

Dac[ a?R , a != 0 , se nume=te eroare relativ[ m[rimea:

a

a a

a

- *

=

?

? = (1.4)

Se nume=te margine superioar[ a erorii relative orice num[r R a ? ? care verific[ relaia:

a ? <= ? (1.5)

Avem evident:

( ) a

a = a* 1+- ? (1.6)

Dac[ se cunoa=te o margine superioar[ a erorii absolute a ? atunci:

a

a

a a - ?

?

? = Analog, dac[ se

cunoa=te a ? , atunci:

a

a

a 1

a

- ?

?

? =

1.2. Surse principale de erori

Erorile care afecteaz[ un calcul numeric pot fi clasificate ]n cinci categorii.

Erori ale metodei

Studiul unui fenomen real se face pe baza unui model matematic asociat fenomenului. }n stabilirea

modelului matematic se fac anumite aproxim[ri sau idealiz[ri ale fenomenului care vor genera erori

ale metodei.

Erori de trunchiere

Apar atunci c`nd modelul matematic conine procese de trecere la limit[ sau calculul sumelor unor

serii. Deoarece un algoritm trebuie s[ conin[ un num[r finit de pa=i, calculul sumei unei serii, de

exemplu, se ]nlocuie=te cu suma unui num[r finit de termeni, gener`nd astfel o eroare de trunchiere.

Capitolul 1. Erori. Numere aproximative

1.2

Erori iniiale

Sunt datorate prezenei ]n modelul matematic a unor parametri care nu pot fi estimai exact. Cazul

tipic ]l constituie majoritatea constantele fizice.

Erori de rotunjire

Apar din cauza bazelor de numeraie diferite, utilizate ]n reprezentarea extern[ respectiv intern[ a

datelor. Reprezentarea extern[ utilizeaz[ ]n general baza 10. Reprezentarea intern[ a datelor este

]ntotdeauna ]n baza 2. Conversia din format extern ]n format intern conduce la apariia erorilor de

rotunjire.

Erori propagate

Apar ]n rezultatele operaiilor cu operanzi numere aproximative. Este evident c[, ]ntr-un calcul cu

numere aproximative, erorile iniiale ale operanzilor se propag[ ]n rezultat.

1.3. Reprezentarea numerelor aproximative

Dac[ a ?R , reprezentarea sa ]n baza 10 este de forma:

a 10 10 10m n 1

m n 1

m 1

m 1

m

m = ? + ? + + ? - + +

- +

-

- (1.7)

unde {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} i ? ? cu i?Z, sunt cifrele num[rului a.

0 m ? != se nume=te cifra rangului superior.

O aproximaie a* a num[rului ,,a" p[streaz[ un num[r finit de cifre din reprezentarea (1.7):

m n 1

m n 1

m 1

m 1

m

m

a* 10 10 10 - +

- +

-

- = ? + ? + + ? , m?Z, n?N (1.8)

m-n+1 ? se nume=te cifra rangului inferior.

Se nume=te cifr[ semnificativ[:

- orice cifr[ diferit[ de zero;

- un zero ]ncadrat de cifre semnificative;

- orice zero p[strat.

Toate cifrele reprezent[rii (1.8) se numesc cifre exacte (]n sens strict) dac[ eroarea absolut[ a

aproxim[rii nu dep[=e=te jum[tate din rangul inferior al aproximaiei:

* 10m n 1

2

? = a - a <= 1 ? - + (1.9)

Cifrele reprezent[rii (1.8) se numesc exacte ]n sens larg dac[:

? = a - a* <= 10m-n+1 (1.10)

1.4. Rotunjirea numerelor aproximative

Rotunjirea const[ ]n reducerea num[rului de cifre semnificative din reprezentarea zecimal[ a unui

num[r exact sau aproximativ. Pentru a se obine o eroare de rotunjire minim[, rotunjirea se face pe

baza urm[toarelor reguli:

- dac[ prima cifr[ eliminat[ este mai mic[ dec`t 5, cifrele p[strate r[m`n nemodificate;

- dac[ prima cifr[ eliminat[ este mai mare dec`t 5, se adug[ o unitate la cifra rangului inferior;

- dac[ prima cifr[ eliminat[ este 5 =i printre celelalte cifre eliminate exist[ cifre nenule, se adug[ o

unitate la cifra rangului inferior;

- dac[ prima cifr[ eliminat[ este 5 iar restul sunt nule, atunci (regula cifrei pare):

- dac[ ultima cifr[ p[strat[ este par[, cifrele p[strate r[m`n nemodificate;

- dac[ ultima cifr[ p[strat[ este impar[, se adug[ o unitate la cifra rangului inferior.

Capitolul 1. Erori. Numere aproximative

1.3

Leg[tura ]ntre eroarea relativ[ =i num[rul de ciftre exacte

Se poate demonstra c[ dac[ toate cifrele reprezent[rii (1.8) sunt exacte, atunci:

m

* 1 n 10

a

a a

?

<=

-

? =

-

(1.11)

Pentru n >= 2 , relaia anterioar[ devine:

m

* 1 n

2

10

a

a a

??

<=

-

? =

-

(1.12)

Dac[ cifrele sunt exacte ]n sens larg, estim[rile din relaiile (1.11) =i (1.12) se dubleaz[.

1.5. Erori propagate

}n acest paragraf sunt prezentate erorile propagate ]n cazul unor operaii elementare.

1.5.1. Eroarea unei sume