Extras din curs

1. BREVIAR STATISTIC

1.1 Funcția de repartiție și funcția densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare

Definiția 1.1. Se numește funcție de repartiție a variabilei aleatoare X, aplicația dată de:

, definită pentru orice .

Teorema 1.1. Funcția de repartiție a unei variabile aleatoare are următoarele proprietăți:

(P1) ;

(P2) , ;

(P3) , adică F este continuă la stânga.

Notă. Deoarece funcția F(x) este monotonă și mărginită între 0 și 1, graficul funcției F(x) are două asimptote orizontale: y = 0, când și y = 1, când .

Pentru o variabilă aleatoare continuă, graficul funcției de repartiție este cel din figura de mai jos:

Definiția 1.2. Fie X o variabilă aleatoare a cărei funcție de repartiție este F. Dacă există o funcție reală f definită și integrabilă pe R astfel încât:

atunci F se numește funcție de repartiție absolut continuă, iar X se numește variabilă aleatoare absolut continuă. Funcția f se numește densitate de probabilitate.

Notă. Presupunând că F este derivabilă pe R, în acest caz F este o primitivă a lui f, adică .

Funcția f(x), reprezentând prima derivată a funcției de repartiție, are semnificația unei caracteristici a densității cu care se repartizează valorile variabilelor aleatoare în punctul dat.

Teorema 1.2. Funcția densitate de probabilitate are următoarele proprietăți:

(P1) pentru orice ;

(P2)

(P3) , adică probabilitatea ca variabila aleatoare continuă X să ia o valoare în intervalul (a,b) este egală cu integrala densității de probabilitate pe intervalul (a,b).

1.2 Repartiția normală și repartiția normală standard

Definiția 1.3. O variabilă aleatoare X urmează o repartiție normală de paramestri m și , notată dacă are o funcție densitate de probabilitate de forma:

Funcția densitate de probabilitate este reprezentată prin curba densității de probabilitate astfel:

Proprietățile repartiției normale sunt următoarele:

- este unimodală, maximul fiind atins în punctul x = m, unde valoarea este (în acest punct derivata de ordinul întâi este zero, );