Modelare și simulare economică

PARTEA I

PROGRAMARE LINIARĂ. APLICAłII ECONOMICE

CAPITOLUL 1. PROBLEMA DE PROGRAMARE LINIARĂ

1.1. Introducere

Programarea liniară este un domeniu dezvoltat la sfârsitul anilor 1940, odată cu

necesitatea rezolvării unor probleme de alocarea resurselor si a devenit un instrument esenŃial

al cercetărilor operaŃionale, aplicat unor probleme extrem de variate din lumea reală.

În continuare vom prezenta problema de programare liniară prin intermediul câtorva

exemple. (Kolman, Beck, 1995)

Exemplul 1.1. Problemă de transport

Un produs P este obŃinut în două fabrici situate în două locaŃii, Bucuresti si Craiova si

este stocat pentru desfacere în trei depozite, unul situat în Ploiesti, unul în Pitesti si unul la

Cluj. Fabrica din Bucuresti produce săptămânal 120 de tone din produsul P, iar fabrica din

Craiova produce P în cantitate de 140 tone pe săptămână. Pentru desfacerea produsului,

necesarul săptămânal este: pentru depozitul din Ploiesti 100 de tone, pentru depozitul din

Pitesti, 60 de tone, respectiv pentru depozitul din Cluj 80 de tone. În tabelul de mai jos sunt

prezentate costurile de transport per tona de produs.

Ploiesti Pitesti Cluj

Bucuresti 50 70 90

Craiova 60 70 100

Problema de rezolvat: calculul numărului de tone din produsul P care trebuie furnizate

de cele două fabrici fiecărui depozit astfel încât costul de transport să fie minim si astfel încât

să fie respectate condiŃiile enunŃate mai sus.

Modelul matematic.

Fie F1 si F2 fabricile din Bucuresti, respectiv Craiova si D1, D2 si D3 depozitele din

Ploiesti, Pitesti si Cluj respectiv. Vom nota în continuare cu

· ij x - numărul de tone din produsul P aduse din Fi la Dj, 1 £ i £ 2, 1 £ j £ 3

· ij c - costul de transport al unei tone din produsul P aduse din Fi la Dj,

1 £ i £ 2, 1 £ j £ 3

Cantitatea totală din produsul P care provine de la Fi este Σ

ij x , 1 £ i £ 2 . Pe baza

enunŃului, rezultă,

Cantitatea totală din produsul P stocată de Dj, 3 1 £ £ j este Σ

=

2

i 1

ij x . Deoarece

solicitările de produs la depozite este de 100, 60, respectiv 80 de tone, rezultă,

Evident, pentru 1 £ i £ 2, 1 £ j £ 3, ³ 0 ij x .

Costul de transport, care trebuie minimizat, este,

Este obŃinut următorul model matematic,

Determină valorile ij x ,1 £ i £ 2, 1 £ j £ 3 care minimizează

cu restricŃiile,

unde cantităŃile maxime din produsul P care pot fi furnizate sunt

120, 140 1 2 s = s =

si necesarul de aprovizionat este, la nivelul fiecărui depozit,

100, 60, 80 1 2 3 d = d = d = .

Exemplul 1.2. Problemă financiară

Un investitor doreste să investească exact 100.000 lei în două titluri de valoare: T1,

care plăteste dividende de 7% si T2, din care rezultă dividende de 9%. CondiŃiile de efectuare

a investiŃiei sunt:

1. suma investită în T1, x , trebuie să fie cel puŃin dublul sumei investite în T2;

2. suma investită în T2, y , este de maxim 30.000 lei.

Problema de rezolvat: determinarea sumelor de bani care vor fi investite în T1 si T2

astfel încât profitul obŃinut de investitor să fie maxim.

Modelul matematic.

Cu notaŃiile de mai sus, obŃinem,

x + y = 100000

x ³ 2y

y £ 30000

x ³ 0

y ³ 0

Profitul este calculat prin,

profit = 0.07x + 0.09y .

Rezultă următorul model matematic: determină x, y care maximizează

profit = 0.07x + 0.09y

cu restricŃiile,

x + y = 100000

x ³ 2y

y £ 30000

x ³ 0

y ³ 0