Extras din curs
1.1 Limita inferioara si superioara a unui sir.
Sir Cauchy.
Fie (an) un sir de numere reale
Notam: ,
Avem, in mod evident () deoarece Ann rezulta caadica sirul ()0ennx este crescator, iar sirul () este descrescator. 0enny
Cum orice sir monoton are limita in R, fie:
Definitia 1. Elementul ,1R(respectiv RL definit mai sus se numeste limita inferioara (respectiv limita superioara) a sirului si se noteaza: 0)(ennanalim sau lim inf (respectiv nanalim sau lim sup ). na
Observatia 1. Din definitia 1 rezulta imediat egalitatile: Nnknkae=supinfknnka+e0infNnna=inflim Nnknkae=infsupknnka+e0sup
pentru orice .
De asemenea, din urmatorul sir de inegalitati evidente:
Exemplul 1. Pentru unde avem: ,
Definitia 2. Sirul se numeste Cauchy (sau fundamental) daca sa avem
Teorema 1. (Criteriul general a lui Cauchy). Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca este sir Cauchy.
Demonstratie: Presupunem ca astfel incat sa avem:Luam si fie si deoarece '
Folosind inegalittea: deci sirul este Cauchy. 0)(enna
Reciproc, presupunem ca sirul este Cauchy si fie 0)(enna;0>µ datorita ipotezei astfel incat si sa avem: Nn')(µ',)(µnnNne *)(Np ,2µ<+aapn deci .)()(,22'Npnnaaanpnn e +<<+µµµ
Luam si fie deoarece '
In mod similar se poate obtine ,limµ<knaa si datorita unicitatii limitei unui sir, obtinem: ,limlimlimRaaannnn==’ adica sirul este convergent. 0)(enna
Teorema 2. Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca limita sa inferioara si limita sa superioara sunt reale egale, si, in plus, avem: 0)(ennannnnaaalimlimlim==’
Demonstratie. Daca este convergent, atunci, din teorema 1, rezulta ca este sir Cauchy si, din demonstratia aceleiasi teoreme, obtinem concluzia implicatiei de la stanga la dreapta. 0)(enna0)(enna
Reciproc, presupunem ca si fie RaLl==;0>µ
avem ,nu este un mejorant pentru sirul , prin urmare exista astfel incat: 0)(ennxNn'µ
In mod analog, avem ,infnNnyL>+µ deci µ+L nu este un minorant pentru sirul prin urmare exista un astfel incat: 0)(enny,''Nnµ
Preview document
Conținut arhivă zip
- Analiza Matematica
- 1.pdf
- 2.pdf
- pregatire.pdf