Complemente de Teoria Șirurilor și Seriilor Numerice

CAPITOLUL 4

COMPLEMENTE DE TEORIA ŞIRURILOR ŞI SERIILOR

NUMERICE

4.1. Noţiuni introductive

DEFINIŢIA 4.1.1. : Se numeşte şir de numere reale o funcţie

f : N* → R, f (n) = an . Notăm ( ) n n N* a .

DEFINIŢIA 4.1.2. : Fie n1<n2<…<nk<… un şir de numere

naturale strict crescator. Atunci ( ) nk a , k N* se numeşte subsir al şirului

( ) n n N* a .

OBSERVAŢIA 1 : Un subşir al unui şir are o infinitate de termeni.

EXEMPLE : a n n = 1, 2, …, n , … Atunci :

k a2 , ,Κ , ,Κ 2 4 2k a a a este subşirul termenilor pari.

2k−1 a , ,Κ ,Κ 1 3 2k −1 a a a este subşirul termenilor impari.

DEFINIŢIA 4.1.3. : Fie a R . Se numeşte vecinătate a lui “a”

orice interval deschis care îl conţine pe “a”.

Fie ε > 0, ε R . Se numeşte ε vecinătate centrată a

numărului “a” intervalul (a −ε , a +ε ). Notăm ( ) ( ε ε ) ε V a = a − , a + .

DEFINIŢIA 4.1.4. : Se numeşte vecinătate a lui +∞ , orice

interval de forma (a,∞), a R .

DEFINIŢIA 4.1.5. : Se numeşte vecinătate a lui -∞ , orice

interval de forma (− ∞, a), a R .

DEFINIŢIA 4.1.6. : Şirul ( ) n n N* a este convergent către “ a “

( finit ) dacă oricare ar fi vecinătatea V(a) , aceasta lasă în afara ei cel mult

un număr finit de termeni ai şirului.

DEFINIŢIA 4.1.7. : Şirul ( n )n N* a este convergent către “a”

( finit ) dacă pentru orice ε > 0 , există un număr natural ( un rang ) N(ε ) ,

astfel încât oricare ar fi n ≥ N(ε ) a − a <ε n .

OBSERVAŢIA 2 : Definiţiile 4.1.6. şi 4.1.7. sunt echivalente.

DEFINIŢIA 4.1.8. : Şirul ( ) n n N* a are limita + ∞ dacă oricare

ar fi o vecinătate V (+∞) , aceasta lasă în afara ei cel mult un număr finit de

termeni ai şirului.

DEFINIŢIA 4.1.9. : Şirul ( ) n n N* a are limita + ∞ dacă oricare

ar fi a R , există un prag N(a), astfel încât oricare ar fi n ≥ N(a) rezultă

că a a n > .

OBSERVAŢIA 3 : Definiţiile 4.1.8. şi 4.1.9. sunt echivalente.

DEFINIŢIA 4.1.10. : Şirul ( ) n n N* a are limita − ∞ dacă oricare

ar fi o vecinătate V (−∞) , aceasta lasă în afara ei cel mult un număr finit de

termeni ai şirului.

DEFINIŢIA 4.1.11. : Şirul ( ) n n N* a are limita − ∞ dacă oricare

ar fi a R , există un prag N(a), astfel încât oricare ar fi n ≥ N(a) rezultă

că a a n < .

OBSERVAŢIA 4 : Definiţiile 4.1.10. şi 4.1.11. sunt echivalente.

Un şir este convergent dacă are limita finită şi este divergent dacă

are limita + ∞ sau − ∞ sau nu are limită.

EXEMPLE :

1. Şirul constant a a n = . Se demonstrează că a a

n n ∞ →

→ , adică

a a n n

=

→∞

lim .