Extras din curs
CAPITOLUL I
SERII DE NUMERE REALE
CURSUL 1
1.1. Şiruri de numere reale ....................................................................................2
1.2. Proprietăţi generale ale seriilor de numere reale ............................................5
Acest capitol este destinat studiului seriilor de numere reale cu ajutorul cărora
noţiunea de sumă a unui şir finit de numere reale poate fi extinsă la cazul unui şir
infinit de numere reale.
În prima parte a capitolului se realizează o scurtă trecere în revistă a noţiunilor
de şir convergent respectiv şir fundamental de numere reale.
Partea a doua a capitolului cuprinde câteva proprietăţi generale ale seriilor de
numere precum şi criterii de convergenţă pentru serii cu termeni pozitivi respectiv
serii alternate.
1
1.1. ŞIRURI DE NUMERE REALE
1.1. Definiţie. O funcţie f : ΙN ® ΙR se numeşte şir de numere reale. Pentru orice
nÎ ΙN considerând f(n)=an şirul de numere reale astfel definit se va nota (an)nÎ ΙN
sau (an)n ³ 0.
1.2. Definiţie. Un şir de numere reale (an)n ³ 0 se numeşte convergent către aÎ ΙR
dacă:
" e >0 $ nεÎ ΙN astfel încât " nÎ ΙN, n³ nε rezultă ׀an-a׀<e .
În acest caz se notează n® ¥
liman =a. Numărul real a se numeşte limita şirului (an)n
³ 0.
Reamintim următoarea condiţie suficientă de convergenţă a unui şir de numere
reale:
1.3. Propoziţie. Un şir de numere reale este convergent dacă este monoton şi
mărginit.
1.4. Definiţie. Un şir (an)n ³ 0 de numere reale se numeşte şir fundamental sau şir
Cauchy dacă:
" e >0 $ nεÎ ΙN astfel încât " m,nÎ ΙN, m,n³ nε rezultă ׀am-an׀<e .
În cazul în care m=n inegalitatea precedentă este automat satisfăcută. Dacă
presupunem m>n (cazul m<n este similar) şi notăm p=m-n avem pÎ ΙN, p³ 1 şi
m=n+p. Astfel condiţia din definiţia 1.4. este echivalentă cu:
" e >0 $ nεÎ ΙN astfel încât " nÎ ΙN, n³ nε şi " pÎ ΙN* rezultă ׀an+p-an׀<e .
1.5. Exemple.
1. Să se demonstreze că următoarele şiruri de numere reale sunt fundamentale:
a) an = 1+
2
1
2 +
3
1
2 +...+
n
1
2 , n ³ 1
b) an = 1+
2!
1
+
3!
1
+...+
n!
1
, n ³ 0
Soluţie: a) Avem
2
׀an+p-an׀= (n 1)
1
2 + + (n 2)
1
2 + +...+ (n p)
1
2 + .
Deoarece
(n k)
1
2 + < (n k 1)(n k)
1
+ - + =
n k 1
1
+ -
-
n k
1
+
, k=1, p
obţinem:
׀an+p-an׀<
n
1
-
n 1
1
+
+
n 1
1
+
-
n 2
1
+
+...+ n p 1
1
+ - - n p
1
+ =
=
n
1
- n p
1
+ .
Dar
n
1
- n p
1
+ <
n
1
, " pÎ ΙN*
şi deci
׀an+p-an׀<
n
1
, " pÎ ΙN*
Cum n® ¥
lim
n
1
=0 se obţine că
" e >0 $ nεÎ ΙN astfel încât " nÎ ΙN, n³ nε rezultă ׀an+p-an׀<
n
1
<e , " pÎ ΙN*.
Prin urmare şirul (an)n ³ 1 este fundamental.
b) În relaţia
׀an+p-an׀= (n 1)!
1
+ + (n 2)!
1
+ +...+ (n p)!
1
+
folosind inegalitatea n! ³ 2n-1 , " nÎ ΙN avem
׀an+p-an £ ׀
2
1
n +
2
1
n+ 1 +...+
2
1
n+ p- 1 =
2
1
n- 1 1-)
2
1
p )<
2
1
n- 1 , " pÎ ΙN*.
Deoarece n® ¥
lim
2
1
n- 1 =0 se obţine că
Preview document
Conținut arhivă zip
- CAp._II_Curs_3.pdf
- CAP._III_Curs_5.pdf
- CAP._III_Curs_7.pdf
- CAP._IV_Curs_8.pdf
- CAP._V_Curs_10.pdf
- CAP._VI_Curs_11.pdf
- CAP.I_Curs_1.pdf
- CAP.I_Curs_2.pdf
- CAP.II_Curs_4.pdf
- CAP.III_Curs_6.pdf
- CAP.V._Curs_9.pdf
- CAP.VI_Curs_12.pdf
- CAP.VII.Curs_13.pdf
- CAP.VIII_Curs_14.pdf
Alții au mai descărcat și
INTRODUCERE Matematica se foloseşte în economie de la începutul secolului al XIX-lea. Matematica a adus rigurozitate şi precizie în analiza...
Definiţia 1.1. Numim experiment (experienţă) realizarea unui complex de condiţii bine precizat. Definiţia 1.2. Rezultatul unui experiment se...
Câmp de evenimente. Probabilitate 1. Câmp de evenimente Teoria probabilitatilor studiaza legile dupa care evolueaza fenomenele aleatoare. Vom...
1. Spaţii şi subspaţii liniare (vectoriale) 1.1 Să se arate că mulţimea M m,n(ℝ) a matricilor de ordinul (m,n) cu elemente reale formează...
Numere aproximative. Erori a) Sursele si clasificarea erorilor. În rezolvarea numerica a unei probleme deosebim - în general - trei feluri de...
7.3. Conceptul de probabilitate Pentru masurarea sanselor de realizare a unui eveniment aleator s-a introdus notiunea de probabilitate. Sunt...
CAPITOLUL 1 1.1 : Spaţiul Vectorial Real nR Mulţimea vectorilor n – dimensionali : operaţii cu vectori ; caracteristici ale vectorilor . Un...
Te-ar putea interesa și
Introducere Educaţia şi formarea continuă sunt esenţiale pentru inserţia tinerilor absolvenţi pe piaţa muncii. Învăţământul universitar reprezintă...
Introducere După cum afirma matematicianul german Johann Carl Friedrich Gauss “ Matematica este regina ştinţelor”. Una dintre aceste ştinţe este...
Aplicatii statistici matematice in domeniul economic Statistica este disciplina care se ocupa cu culegerea,inregistrarea,gruparea,analiza si...
Negocierile in relatiile economice sunt mijloace de clarificare si solutionare a unor probleme in vederea incheierii sau modificarii unor acorduri...
1) Care din urmatoarele operatii efectuate asupra unei matrice este transformare elementara: a) adunarea unei linii la o coloana; b) inmultirea...
1. DOBANZI 1.1. Dobanda simpla Dobanda este o notiune de baza cu care se opereaza in calculele financiare. Ea reprezinta un surplus monetar care...
MULTIPLE CHOICE 1. Fie urmatoarea forma patratica: Aflati matricea asociata acestei forme patratice. a. c. b. d. ANS: A 2. Fie urmatoarea...
Functii 2 variabile f(x,y)=... pas1:calc f '(x), f '(y) pas2: calc sist f '(x)=0, f '(y)=0. A(x1,y1)B(x2,y2)C(x1,y2)D(x2,y1) Pas3: calc f...