Aproximare Uniformă

Pentru orice funcţie continuă pe un interval inchis []()b,aCf∈ se defineşte norma aproximării uniforme prin: []()xfmaxfb,ax∈=.

Cel mai bun polinom de aprxoximare uniformă de ordin n (aproximant uniform sau polinom minimax) al unei funcţii: f∈C([a,b]) este acel polinom care se îndepărtează cel mai puţin, în sensul normei de funcţia dată, adică: ()n*nxpΠ∈[]()()xpxfmaxminpfminpfnb,axpnpnnnnn−=−=−∈Π∈Π∈∗

Teorema de caracterizare: ()xp*n este aproximant uniform de ordin n, dacă: atinge de n+2 ori valoarea extremă +E sau -E, cu alternanţe de semn între două extreme consecutive. ()()()xpxfxe*n−=

Aceasta presupune existenţa a n+2 puncte distincte în [a,b]: cu proprietatea de alternanţă a extremelor, adică: 1n10x,,x,x+K

()()()()1n:0k,E1xpxfxekknkk+=−=−=∗,

[]()()xpxfmaxEnb,ax∗∈−=.

Cel mai bun polinom de aproximare uniformă este unic.

Dacă funcţiile sunt liniar independente şi generează un spaţiu vectorial V şi dacă orice element din V are n+2 zerouri în [a,b] atunci: f,x,,x,x,1n2K

10. posedă exact n+2 extreme alternante *npf−

20. a şi b fac parte dintre punctele extreme

30. între punctele extreme nu există alte extreme

40. este strict monotonă între două puncte extreme alternante consecutive. *npf−

În determinarea celui mai bun polinom de aproximare uniformă se folosesc polinoame Cebâşev, întrucât acestea prezintă proprietatea de oscilaţie cerută de teorema de caracterizare.

Proprietăţi ale polinoamelor Cebâşev.

Polinoamele Cebâşev se definesc prin relaţia: ()()xarccosncosxTn=

Dacă se introduce notaţia:

θcosx=,

()()θncosθcosTxTnn==.

Se observă că: x∈[-1,1] şi Tn(x)∈[-1,1], adică:

[][]1,11,1:Tn−→−. 1

Polinomul Tn(x) este un polinom de gradul n în x având coeficientul puterii dominante 2n-1:

()K+⋅=−n1nnx2xT

Polinoamele Cebâşev se calculează cu relaţia de recurenţă:

()()()1n:1p,0xTxTx2xT1pp1p−==+⋅⋅−−+,

()()xxT,1xT10==.

Intr-adevăr relaţia de recurenţă se poate exprima prin relaţia trigonometrică evidentă:

()()θpcosθcos2θ1pcosθ1pcos⋅⋅=−++

Zerourile polinomului Cebâşev se obţin din ecuaţia trigonometrică: n2π)1k2(θ0θncosk+⋅=⇒=, n2π)1k2(xk+⋅=.

Punctele de extrem ale polinomului Cebâşev: ()1xTpnm= sunt: nπpcosxp=.

Relaţiile de ortogonalitate satisfăcute de aceste polinoame: ⎪⎩⎪⎨⎧==≠=≠=−⋅∫−.0qpπ,0qp2π,qp0dxx1)x(T)x(T112qp

se deduc din identitatea trigonometrică: ]θ)qpcos(θ)qp[cos(21)θqcos()θpcos(−++=⋅

Dezvoltarea în serie de polinoame Cebâşev a unei funcţii definite pe []1,1− este:

)x(Ta)x(fp0ppΣ∞==,

unde: .dxx1)x(fπ1a,dxx1)x(T)x(fπ2a1120112pp∫∫−−−⋅=⋅−=

şi se obţine din dezvoltarea în serie Fourier a funcţiei:

θpcosa)θ(cosf0pp⋅=Σ∞=.