Rezolvarea ecuațiilor matriceale liniare Sylvester și Liapunov

Rezolvarea ecuatiilor matriceale

liniare Sylvester si Liapunov

2.1 Tema

^Insusirea tehnicilor de rezolvare a unor sisteme liniare, ^n general de mari dimensiuni, structurate

^n exprimari matriceale care permit dezvoltarea unor metode specice de calcul. Concret,

se vor elabora, edita si testa programe MATLAB pentru rezolvarea ecienta a ecuatiilor matriceale

Sylvester si Liapunov continue si discrete.

2.2 Ecuatii matriceale liniare. Algoritmi

Ecuatiile matriceale liniare sunt sisteme de ecuatii liniare care pot scrise compact ^n forma

matriceala

Pk

i=1 AiXBi = C, unde Ai 2 IRpm, Bi 2 IRnq si C 2 IRpq sunt matrice date iar

X 2 IRmn este matricea necunoscutelor. Evident, aceasta ecuatie poate scrisa ^ntr-o forma

"desfasurata" ca sistem de pq ecuatii liniare cu mn necunoscute. O astfel de abordare eludeaza

"structura matriceala" a sistemului iar aplicarea tehnicilor clasice de rezolvare pe sistemul

desfasurat, neexploat^and structura interna a datelor de intrare, este, de cele mai multe ori,

inecienta. ^In continuare vom considera numai cazul "determinat", ^n care numarul ecuatiilor

este egal cu numarul necunoscutelor, i.e. Ai 2 IRmm, Bi 2 IRnn sunt matrice patrate iar

C;X 2 IRmn.

Ecuatiile matriceale liniare cele mai ^nt^alnite ^n aplicatii, e.g. ^n domeniul automaticii, se

obtin pentru k = 2, i.e. sunt de forma A1XB1 + A2XB2 = C. Particularizarile

AX + XB = C; (2.1)

AXB + X = C: (2.2)

sunt cunoscute sub denumirea de ecuatii matriceale Sylvester continua, respectiv discreta.

Particulariz^and si mai mult, obtinem ecuatiile matriceale liniare cunoscute sub denumirile

de ecuatie Liapunov continua pentru

ATX + XA = C; (2.3)

respectiv ecuatie Liapunov discreta pentru

ATXA X = C: (2.4)

2 LABORATOR 2. ECUAT II MATRICEALE LINIARE

Conditiile de existenta si unicitate ale solutiilor acestor ecuatii sunt date de

Teorema 2.1 Ecuatia matriceala Sylvester continua (2.1) admite o solutie X 2 IRmn unica

daca si numai daca

i + j 6= 0; 8 i 2 (A); 8 j 2 (B) (2.5)

sau, altfel spus, daca si numai daca (A) (B) = ;.

Ecuatia matriceala Sylvester discreta (2.2) are o solutie X 2 IRmn unica daca si numai

daca

ij 6= 1; i 2 (A); 8j 2 (B): (2.6)

^In particular avem

Corolar 2.1 Ecuatia matriceala Liapunov continua (2.3) admite o solutie unica daca si numai

daca matricea A nu are nici o pereche de valori proprii opuse, i.e.

i + j 6= 0; 8 i; j 2 (A); (2.7)

^In particular, 0 62 (A) i.e. matricea A trebuie sa e nesingulara.

Ecuatia matriceala Liapunov discreta (2.4) admite o solutie unica daca si numai daca matricea

A nu are nici o pereche de valori proprii inverse, i.e.

ij 6= 1; 8 i; j 2 (A); (2.8)

^In particular, este necesar ca 1 62 (A) .

2.2.1 Rezolvarea ecuatiilor matriceale Sylvester

Rezolvarea ecuatiilor matriceale Sylvester triunghiulare si cvasitriunghiulare

Ecuatiile Sylvester sau Liapunov triunghiulare sunt cele la care matricele A si B au o structura

triunghiulara si permit un calcul simplu al necunoscutelor printr-o procedura de substitutie

numerica directa daca se respecta o ordine de calcul determinata. Pentru subliniere, vom folosi

notatii specice. Fie, de exemplu, ecuatia Sylvester continua

SX + XT = C (2.9)

unde matricele S 2 IRmm si T 2 IRnn sunt superior triunghiulare cu sii + tjj 6= 0, 8i = 1 :

m; 8j = 1 : n. Din egalitatea (SX + XT)ij = cij rezulta

siixij + xij tjj = cij

Xm

k=i+1

sikxkj

Xj1

k=1

xiktkj ; i = 1 : m; j = 1 : n (2.10)

Av^and ^n vedere ca ^n membrul drept al relatiei (2.10) apar elementele matricei necunoscute X

a

ate ^n "st^anga" si "sub" necunoscuta curenta xij (vezi g. 2.2.1), rezulta ca valorile lor vor

disponibile la momentul curent daca ordinea de calcul este i = m;m1; : : : ; 1 si j = 1; 2; : : : ; n,

^n care caz putem utiliza relatia de calcul

xij =

cij

Pm

k=i+1 sikxkj

Pj?1

k=1 xiktkj

sii + tjj

: (2.11)

Rezulta urmatoarele doua versiuni (pe "linii', respectiv "pe coloane") ale algoritmului de

rezolvare a ecuatiiei matriceale Sylvester (2.9).