Elementele prime și ireductibile într-un domeniu de integritate

Cap.I. Inele si corpuri.

1.Inel. Subinel. Ideal. Exemple.

Definitie: Se numeste inel o multime A, nevida inzestrata cu doua legi de compozitie: +:AxAA si •:AxAA, una notata aditiv cealalta notata multiplicativ, care satisfac urmatoarele proprietati:

1. A este un grup abelian fata de operatia aditiva;

2. Operatia de inmultire este asociativa;

3. Inmultirea este distribuitiva bilateral fata de adunare.

Elementul neutru al grupului (A,+) se noteaza cu 0 si se numeste elementul nul al inelului, iar simetricul fata de adunare al unui element oarecare x A se noteaza cu -x si se numeste opusul elementului x.

Explicitind proprietatile 1, 2 si 3, (A, +, •) este inel daca:

Daca, in plus operatia de inmultire admite un element neutru, se spune ca inelul este cu element unitate sau unitar.

Elementul neutru se noteaza, de obicei, cu 1. Atunci, inelul este unitar daca exista un element 1

Daca inmultirea este comutativa, adica daca xy=yx , inelul se numeste comutativ. In acest caz, cele doua axiome de distributivitate sunt identice si se reduc la una singura.

Exemple de inele:

1) (Z,+,•), (Q,+, •), (R,+, •), (C,+, •) sunt inele comutative si unitare.

2) (Z[i],+, •) numit inelul intregilor lui Gauss,

unde Z[i]={z/z=a+bi; a,b- Z}, iar operatiile + si - sunt cele uzuale cu numere complexe. Se verifica usor ca (Z [i],+, •) este inel comutativ unitar

3) (Zn ,+, •) este inel comutativ unitar, inelul claselor de resturi modulo n.

Propozitia 1.1. Daca A este un inel, atunci:

1. x •0=0•x=0 ,  x - A;

2. (-x)y=x(-y)=-xy , x,y - A;

(-x)(-y)=xy ,  x,y - A (regula semnelor)

3. x(y-z)=xy-xz si (y-z)x=yx-zx ,  x,y,z - A;

(distributivitatea inmultirii fata de scadere)

Demonstratie:

1) x •0=x •(0+0)=x •0+x- 0. Adunind -x •0 la ambii membrii ai egalitatii

x •0=x •0+x •0 , obtinem: x •0=0. Analog, 0 •x=0.

2) 0=0 •y=[x+(-x)]y=xy+(-x)y. Deci opusul lui xy este (-x)y, de unde

(-x)y=-xy

Analog se arata ca x(-y)=-xy iar (-x)(-y)=-(x(-y))=-(-xy)=xy.

3) x(y-z)=x(y+(-z))=xy+x(-z)=xy-xz si analog (y-x)z=yz-xz.

Observatie:

Intr-un inel unitar A cu cel putin doua elemente, avem 1  0. Intr-adevar, daca 1=0, atunci x=1- x=0 •x=0, de unde A={0}, contradictie.

Definitie: Fie (A,+,.) un inel comutativ. Un element x - A, x  0 se numeste divizor al lui zero daca exista y - A, y  0 a.i. xy=0.

In inelul (Z 8 ,+,.)elementele 2 si 4 sunt divizori ai lui zero, caci: 2 4=0 si 4 2=0.

Spunem ca inelul A este fara divizori ai lui zero daca  x- 0 si y - 0 rezulta xy  0.

Pe o multime A formata dintr-un singur element ,a , se poate defini o singura structura de inel, punind a+a= a si a - a= a.In acest caz a=1 si a=0, deci 1=0.Acesta se numeste inelul nul.

Un inel nenul A, comutativ, cu element unitate si fara divizori ai lui zero se numeste domeniu de integritate sau inel integru.

Exemple: Inelele(Z,+,.),(Q,+,.),(R,+,.),(C,+,.),(Z[i],+,.)sunt domenii de integritate.Daca A este un inel unitar ,elementele lui simetrizabile in raport cu inmultirea se bnumesc elemente inversabile sau unitati ale inelului

Inversul sau simetricul lui a ,daca exista , se noteaza cu a

Propozitia 1.2. Daca inelul comutativ unitar A este nenul, atunci orice element inversabil din A nu este divizor al lui zero.

Demonstratie.

Presupunem ca x - A este un element inversabil din A si ca este divizor al lui zero Atunci exista y  0 a.i. xy =0.Daca x este inversul lui x, atunci avem

x (xy) =(x x)y=1 y si x 0=0  y=0, contradictie.

In particular, 1- A fiind element inversabil ,nu este divizor al lui zero,deci 1  0.

Intr-un domeniu de integritate A; produsul a doua elemente x,y- A este zero daca si numai daca x=0 sau y=0,adica xy=0  x=0 sau y=0.