Divizibilitate

INTRODUCERE

Obiectul iniţial al teoriei numerelor a fost studiul proprietăţilor numerelor întregi. Ca ramură a matematicii, teoria numerelor s-a constituit sitematic abia mai târziu.

Rezultate separate se cunosc încă din antichitate şi aparţin lui Euclid ( 300 î. H.) şi lui Diofante (250 î. H.) .

În secolul al XVII –lea, în cercetările sale Pierre Fermat ( 1601-1666) face descoperiri remarcabile, de o reală valoare ştiinţifică.

Progrese mari a realizat prin numeroasele sale lucrări Leonhard Euler ( 1707 -1783) ale cărui idei au fost deosebit de fructuoase.

Teoria numerelor este azi o ramură cu multe ramificaţii, înrudită cu algebra abstractă ( în special în ceea ce priveşte teoria algebrică a numerelor ) şi care foloseşte cele mai rafinate metode ale analizei ( în teoria analitică a numerelor ). Apar astfel probleme şi subdomenii care au numai indirect legătură cu numerele întregi .

Spre deosebire de alte domenii ale matematicii, multe rezultate ale teoriei numerelor sunt accesibile şi unor nespecialişti fără cunoştinţe temeinice aprofundate. Demonstraţiile acestor rezultate necesită un instrument matematic foarte complicat .

Teoria numerelor este denumită “ regina matematicii “. Vorbind de ea, Gauss a afirmat “ Este remarcabil că oricine se ocupă serios de această ştiinţă este cuprins de o adevărată pasiune “ ( Gauss 1808 –către prietenul său din tinereţe Bolyai ).

Teza constă din introducere, 3 capitole, 11 subdiviziuni, concluzii şi bibliografie.

În primul capitol se studiază numerele naturale, construcţia acestora, operaţiile, proprietăţile operaţiilor.

În capitolul doi se cercetează relaţia de divizibilitate în cazul numerelor întregi.

Ultimul capitol explică amănunt teoria numerelor prime, inclusiv şi importanţa acestora în matematică.

Teza finisează cu concluzii.

I. NUMERE NATURALE

1.1.CONSTRUCŢIA NUMERELOR NATURALE

Elevii fac cunoştinţă cu mulţimea numerelor naturale 0,1,2,3, …n notată cu N încă din clasele primare .

Matematicianul Italian Giuseppe Peano (1858-1932) a definit numerele naturale ca fiind elemente ale unei mulţimi N în care s-a fixat un element 0 ( numit numărul natural 0) împreună cu o funcţie

s: N N (numită funcţie succesor) astfel încat axiomele următoare să fie îndeplinite:

Axiomele lui Peano

A1 Zero este număr natural

A2 Orice număr natural admite un succesor unic, care este tot număr natural.

A3 Zero nu este succesorul nici unui număr natural.

A4 Dacă succesorii a două numere naturale coincid, atunci numerele considerate coincid.

A5 Dacă o mulţime de numere naturale conţine pe 0 şi pentru fiecare număr din această mulţime succesorul său aparţine mulţimii, atunci mulţimea considerată coincide cu mulţimea tuturor numerelor naturale.

Observaţie :

Axioma A5 se mai numeşte principiul inducţiei sau axioma inducţiei.

Adunarea numerelor naturale

Definiţie Se numeşte adunarea numerelor naturale aplicaţia:

+ : N N N ( unde N N = { ( a,b )/ a, b N } ) astfel încât :

1. a+ 0 = a a N

2. a+bI = (a+b)I a,b N ( bI = succesorul lui b )

Proprietăţile adunării numerelor naturale

Adunarea numerelor naturale este asociativă .

a,b,c N , (a+b)+c = a+ (b+c)

2. Adunarea numerelor naturale este comutativă .

a,b N , a+b=b+a .

3. Adunarea numerelor naturale admite pe 0 ca element neutru.

a N , 0+a=a+0=a.

Demonstraţie :

Fie a, b N şi fie P = { c N / (a+b)+c=a+(b+c) }.

Evident 0 P iar dacă c P atunci

(a+b)+cI = ( ( a+b)+c)I = a+(b+c)I = a+(b+cI) deci şi cI P . Aşadar P=N şi proprietatea e demonstrată.

Fie a N şi fie P = { b N / a+b = b+a }

Din definiţia numerelor naturale rezultă că 0 P.

Dacă b N atunci

a+bI = (a+b)I = (b+a)I = bI+ a .

Din definiţia numerelor naturale rezultă :

a+0=a a N şi 0+aI = (0+a)I = aI

a + 0I = (a+0)I = aI

Înmulţirea numerelor naturale.