Metoda Diferențelor Finite pentru Modelul Izotropic

1. Metoda diferenţelor finite pentru modelul izotropic standard

Scriem relaţiile pentru componentele ale vectorului , punând , şi în loc de , şi , respectiv:

(1.1)

(1.2)

1.1 Modelul izoropic general

Adăugăm celor relaţii (1.1) condiţiile iniţilale pentru , , şi scrise sub forma:

(1.3)

Analog, adăugam celor relaţii (1.2) condiţiile iniţilale pentru , , şi scrise sub forma:

(1.4)

Notăm

(1.5)

(1.6)

De asemenea, punem:

(1.7)

Sistemul de ecuaţii (1.1)-(1.4) cu necunoscute , , poate fi scris sub forma matriceală:

(1.8)

unde matricea quasi-pentadiagonală şi matricea , ambele de tip , sunt:

Matricea se numeşte matricea de rigiditate asociată modelului.

Presupunem că matricea este inversabilă. Sistemul matriceal (1.8) devine:

de unde rezultă:

(1.9)

Înmulţind ecuaţia (1.9) cu la stânga obţinem:

(1.10)

Notând , ecuaţia (1.10) devine:

(1.11)

Se ştie din algebra liniară că dacă , atunci . În ipoteza că (unde ) nu sunt valori proprii ale matricei (ceea ce se întâmplă, de exemplu, dacă matricea este simetrică), atunci , aşadar este matrice inversabilă şi din relaţia (1.11) primim:

Raţionând similar pentru (adică exprimând din a doua ecuaţie (1.8) şi înlocuind în prima ecuaţie (1.8)), obţinem soluţia sistemului matriceal (1.8) sub forma:

(1.12)

1.2 Modelul izotropic pentru curbe închise

Presupunem că este o curbă închisă, deci . În acest caz luăm , pentru orice , iar derivatele se pot exprima pentru . Astfel, relaţiile (1.1) şi (1.2) sunt valabile pentru , iar sistemul matriceal (1.8) se scrie sub forma: