Extras din curs

1. DOBÂNDA

§1. Consideraţii generale.

Să presupunem că o persoană A are nevoie de o sumă de bani pe care o vom nota şi o vom numi sumă iniţială, pentru o perioadă de timp t. Mai presupunem că persoana B este posesoarea acestei sume şi că este de acord să-l împrumute pe A, în anumite condiţii. Aceasta înseamnă că la sfârşitul perioadei de timp t, deci la scadenţă, B va primi înapoi suma pe care a împrumutat-o, la care se mai adaugă plata serviciului pe care B l-a prestat pentru A. Prin urmare, suma finală pe care B o va primi de la A, pe care o vom nota cu S, va fi mai mare decât suma pe care acesta a împrumutat-o iniţial.

Din cele prezentate mai sus putem caracteriza suma finală ca având o valoare care depinde de suma iniţială şi de perioada de timp t pe care a fost realizat plasamentul, deci putem nota această dependenţă prin .

Intuim că suma finală S va fi cu atât mai mare cu cât suma iniţială împrumutată este mai mare şi de asemenea că S creşte odată cu creşterea perioadei de timp pe care a fost plasată. Prin urmare, suma finală va fi caracterizată din punct de vedere matematic prin următoarea definiţie:

Definiţia 1.1. Numim valoare finală sau valoare revenită partenerului B pentru suma plasată pe perioada de timp t, o funcţie de două variabile

care îndeplineşte simultan proprietăţile:

Interpretarea celor două proprietăţi este foarte simplă şi naturală: prima inegalitate din proprietatea 1 este transcrierea matematică a faptului că suma (sau valoarea) finală S este mai mare decât suma iniţială şi creşte odată cu creşterea lui , iar a doua inegalitate arată că S creşte odată cu creşterea perioadei de timp t. Prima egalitate din proprietatea 2 spune că dacă perioada de timp este 0, atunci suma împrumutată este egală cu valoarea finală S, iar a doua egalitate spune că o sumă iniţială egală cu 0 va conduce de asemenea la o sumă finală nulă, indiferent de perioada de timp t.

§2. Ce este dobânda ?

Din exemplul de mai sus am văzut că suma finală care revine partenerului B în urma operaţiunii financiare considerate, este mai mare decât suma iniţială investită, anume şi că această diferenţă se consideră ca o plată (remuneraţie) a serviciului pe care B l-a prestat către A. Diferenţa dintre suma finală S şi suma plasată iniţial o vom nota

(1.1)

şi vom observa că are proprietăţi similare cu ale lui S din definiţia 1.1. Pentru o aceeaşi perioadă de timp t, cu cât suma iniţială este mai mare, cu atât valoarea lui D este mai mare şi de asemenea pentru o aceeaşi sumă iniţială, cu cât timpul t de plasare este mai mare, cu atât valoarea lui D este mai mare. Deci, funcţia D se dovedeşte crescătoare în cele două argumente ale sale, şi t. Reamintind modul în care aceste proprietăţi se transcriu matematic, suntem în măsură să dăm următoare definiţie generală pentru dobândă:

Definiţia 1.2. Numim dobândă corespunzătoare plasării sumei iniţiale pe perioada de timp t, o funcţie de două variabile

care îndeplineşte simultan proprietăţile:

Interpretarea primei proprietăţi a fost dată mai sus şi anume că D este crescătoare în ambele argumente ale sale. Proprietatea 2 spune că dacă perioada de timp este 0, sau suma iniţial plasată este egală cu 0, atunci dobânda corespunzătoare operaţiunii financiare este de asemenea nulă.

Se poate deduce cu uşurinţă că funcţia definită de relaţia (1.1.) satisface cele două proprietăţi din definiţia 1.2., deci poate fi considerată o dobândă relativ la plasarea sumei pe durata de timp t. De aceea relaţia (1.1.) poate fi considerată definiţia dobânzii pentru un plasament pe o perioadă t.

Definiţia 1.3. Dobânda corespunzătoare unui plasament de 100 unităţi monetare pe o perioadă de un an, se numeşte procent şi se notează cu p. Dobânda corespunzătoare unui plasament de o unitate monetară pe p perioadă de 1 an se notează cu i şi poartă numele de dobândă unitară anuală.

Evident, are loc următoarea relaţie între i şi p:

§3. Cum se calculează valoarea lui D ?

Revenind la exemplul prezentat la începutul acestui paragraf, să facem pentru început următoarele particularizări: să spunem că A are nevoie de 2000 de u. m. pentru o perioadă de 3 ani. De asemenea, presupunem că B solicită în schimbul împrumutului pe care îl acordă, ca la sfârşitul celor 3 ani să primească înapoi 3000 u. m., deci cu 1000 u. m. mai mult decât plasamentul iniţial. Prin urmare, după definiţia cuprinsă în relaţia (1.1.) deducem că dobânda aferentă operaţiunii este de 1000 u. m. Se poate întâmpla ca A să considere că această sumă este mult prea mare, sau ca B să spună că nu este suficientă. Subliniem aici faptul natural că persoana A va încerca să negocieze o dobândă cât mai mică, iar B una cât mai mare. De aceea va trebui ca aceste două persoane să ajungă la o înţelegere, deci la o valoare a dobânzii reciproc avantajoasă.

Există multe funcţii de două variabile care îndeplinesc condiţiile impuse de definiţia 1.2., cu ajutorul cărora se poate calcula valoarea dobânzii într-o operaţiune financiară. Utilizate în acest sens, ele vor favoriza pe unul sau altul dintre parteneri. De aceea s-a căutat o funcţie care să ilustreze soluţia reciproc avantajoasă despre care am discutat mai sus. Rezultatul căutărilor este condensat în expresia de mai jos:

(1.2.)

este soluţia reciproc avantajoasă pentru partenerii A şi B relativ la calculul dobânzii într-o operaţiune financiară pe o perioadă de un an, în care s-a plasat suma .

Cu ajutorul acestei expresii simple, vom construi în continuare formulele de calcul în matematicile financiare.