Matematici Economice

Capitolul 1

Elemente de teoria

probabilit˘at¸ilor

Se nume¸ste experiment o operat¸ie repetabil˘a ˆın condit¸ii date. Efectuarea

unei experient¸e se nume¸ste prob˘a. Rezultatul unei probe se nume¸ste eveniment.

S˘a consider˘am experient¸a arunc˘arii unui zar. Aceasta are o mult¸ime ­

de cazuri (sau rezultate posibile), ­ = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. Putem considera

urm˘atoarele evenimente:

A: aparit¸ia unui num˘ar par

B: aparit¸ia unui num˘ar impar

C: aparit¸ia unui num˘ar · 3

D: aparit¸ia num˘arului 5.

Dac˘a la o aruncare apare fat¸a 4, evenimentul A s-a realizat ¸si B;C;D nu

s-au realizat. Fiec˘arui eveniment ˆıi corespunde o mult¸ime de cazuri favorabile,

care este o submult¸ime a lui ­.

Evenimentului A ˆıi corespunde submult¸imea f2; 4; 6g,

evenimentului B ˆıi corespunde submult¸imea f1; 3; 5g,

evenimentului C ˆıi corespunde submult¸imea f1; 2; 3g,

evenimentului D ˆıi corespunde submult¸imea f5g.

Putem scrie:

A = f2; 4; 6g

B = f1; 3; 5g

C = f1; 2; 3g

D = f5g:

Evenimentele care au un singur caz favorabil se numesc evenimente elementare.

Evenimentul sigur este evenimentul care se realizeaz˘a cu certitudine

la orice prob˘a. Toate cazurile posibile ale experient¸ei sunt favorabile

acestui eveniment. Evenimentul imposibil este contrarul evenimentului

sigur. El nu are nici un caz favorabil.

4 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILIT ˘AT¸ILOR

1.0.1 Eveniment implicat de alt eveniment

Evenimentul A implic˘a evenimentul B dac˘a realizarea lui A atrage dup˘a

sine realizarea lui B, adic˘a orice caz care realizeaz˘a pe A realizeaz˘a pe

B. Rezult˘a de aici c˘a mult¸imea cazurilor favorabile lui A este inclus˘a ˆın

mult¸imea cazurilor favorabile lui B.

De exemplu, la aruncarea unui zar, dac˘a A = f1; 2; 3g; B = f1; 2; 3; 4g se

vede c˘a A implic˘a B, iar ca mult¸imi, A ½ B. Este evident c˘a A ½ A, A ½ ­.

Evenimentul imposibil implic˘a orice eveniment (? ½ A).

Notat¸ii:

- ­ - evenimentul sigur

- © - evenimentul imposibil

- A;B;C,..., A1;A2;A3,..., - evenimente oarecare

- !1; !2; :::; !n sau f!1g; f!2g; :::; f!ng - evenimentele elementare corespunz˘atoare

unui experiment.

1.0.2 Operat¸ii cu evenimente

Fiind date dou˘a evenimente A ¸si B, A sau B este evenimentul a c˘arui

realizare ˆınseamn˘a realizarea cel put¸in a unuia din ele. Acest lucru se scrie

A[B. A ¸si B este evenimentul a c˘arui realizare ˆınseamn˘a realizarea ambelor

evenimente A;B ¸si se scrie AB. Operat¸iile cu evenimente au urm˘atoarele

propriet˘at¸i:

1: A [ A = A; 2: A [ ­ = ­; 3: A A = A; 4: A ­ = A; 5: A [ © =

A; 6: A © = ©:

1.0.3 Evenimente incompatibile. Evenimente compatibile

Evenimentele A ¸si B sunt incompatibile dac˘a nu se pot realiza ˆımpreun˘a

ˆın nici o efectuare a experient¸ei. De aici rezult˘a c˘a realizarea unuia din cele

dou˘a evenimente are ca urmare nerealizarea celuilalt. Cu alte cuvinte, A ¸si

B sunt incompatibile dac˘a ¸si numai dac˘a realizarea evenimentului A ¸si B

este imposibil˘a (adic˘a A B = ?).

Evenimentele A ¸si B sunt compatibile dac˘a se pot realiza ˆımpreun˘a ˆın

aceea¸si prob˘a, adic˘a dac˘a au cel put¸in un caz favorabil comun.

1.0.4 Probabilitate

Fie E mult¸imea evenimentelor ata¸sate unei experient¸e cu un num˘ar finit

de rezultate posibile. Pentru a putea m˘asura gradul de realizare al unui

eveniment din E, se define¸ste not¸iunea de probabilitate ˆın sens clasic.

Definit¸ia 1.1 Se nume¸ste probabilitate ˆın sens clasic a unui eveniment

A din E num˘arul P(A) = m

n , unde n este num˘arul cazurilor posibile ¸si m

este num˘arul cazurilor favorabile producerii evenimentului A.

De exemplu, presupunem c˘a avem o urn˘a cu 6 bile identice ca volum ¸si

greutate, numerotate de la 1 la 6. Not˘am cu Ai evenimentul elementar al

extragerii bilei cu num˘arul i. Toate evenimentele elementare A1; A2; :::; A6

au acela¸si grad de realizare. Num˘arul cazurilor posibile este 6. Atunci,

P(A1) = P(A2) = ::: = P(A6) = 1

6 .

Probabilitatea ˆın sens clasic se poate defini ca o funct¸ie P : E ! [0; 1], cu

urm˘atoarele propriet˘at¸i:

1. P(A) ¸ 0, oricare ar fi A 2 E.

2. P(­) = 1. Dac˘a ­ = A1[A2[:::[An, unde n este num˘arul evenimentelor

elementare din E, atunci P(­) = n

n = 1.

3. P(A [ B) = P(A) + P(B) dac˘a A ¸si B sunt incompatibile.

1.0.5 Cˆamp de evenimente. Cˆamp de probabilitate

Definit¸ia 1.2 Fie M o mult¸ime nevid˘a. O familie nevid˘a de mult¸imi,

K ½ P(M), unde P(M) este mult¸imea p˘art¸ilor lui M, se nume¸ste corp

de mult¸imi, dac˘a:

1. oricare ar fi A 2 K, atunci A¯ 2 K, unde A¯ este complementara lui A ˆın

raport cu M;

2. oricare ar fi A;B 2 K, atunci A [ B 2 K.

Definit¸ia 1.3 Fie M o mult¸ime nevid˘a. O familie nevid˘a de mult¸imi, K ½

P(M) se nume¸ste corp borelian dac˘a:

1. oricare ar fi A 2 K, atunci A¯ 2 K;

2. dac˘a ¸sirul de mult¸imi fAn j An ½ M; n 2 N¤g ½ K, atunci

S

n2N¤

An 2

K.

­ se nume¸ste spat¸iul evenimentelor elementare ¸si P(­) se va numi

corp de evenimente.

Definit¸ia 1.4 ­ˆımpreun˘a cu un corp K de evenimente din P(­) se nume¸ste

cˆamp de evenimente ¸si se noteaz˘a (­; K). Dac˘a ­ este o mult¸ime finit˘a

nevid˘a, atunci (­; K) se nume¸ste cˆamp finit de evenimente.

Propozit¸ia 1.5 Fie ­ un spat¸iu finit de evenimente elementare ¸si nevid.

(­; K) este un cˆamp finit de evenimente dac˘a ¸si numai dac˘a K = P(­)

¸si ˆın acest caz num˘arul de evenimente ale cˆampului este 2n, unde n este

num˘arul evenimentelor elementare.

Definit¸ia axiomatic˘a a probabilit˘at¸ii:

Definit¸ia 1.6 Fie (­; K) un cˆamp finit de evenimente. Se nume¸ste probabilitate

pe acest cˆamp o funct¸ie de mult¸imi P : K ! R, care satisface

axiomele:

1. P(A) ¸ 0 pentru orice A 2 K.

6 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILIT ˘AT¸ILOR

2. P(­) = 1.

3. P este o funct¸ie finit aditiv˘a, adic˘a, dac˘a A1;A2 2 K, cu A1 A2 = ©,

atunci P(A1 [ A2) = P(A1) + P(A2).

Definit¸ia 1.7 Un cˆamp finit de evenimente (­; K) ˆımpreun˘a cu o probabilitate

P, definit˘a pe acest cˆamp, se nume¸ste cˆamp finit de probabilitate

¸si se noteaz˘a (­; K; P).