Matematici speciale în electronică

CAPITOLUL I FUNCŢII COMPLEXE

1. Numere complexe

1.1. Construcţia numerelor complexe

Mulţimea numerelor complexe a apărut din necesitatea extinderii noţiunii de număr, având ca punct de pornire mulţimea numerelor reale, cu scopul ca orice ecuaţie de gradul n să aibă n soluţii în noua mulţime.

Fie R corpul numerelor reale. Pe mulţimea R2 = R×R = {(x,y) / x, y R}, produsul cartezian al perechilor ordonate de numere reale, se definesc operaţiile de adunare şi înmulţire astfel:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2)

(x1, y1) - (x2, y2) = (x1x2 – y1y2, x1y2 + y1x2)

1.1.1. Definiţie. Mulţimea R înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire definite mai sus formează corp, numit corpul numerelor complexe, ale cărui elemente se numesc numere complexe:

C = (R2, +, •)

1.1.2. Observaţie. (R2, +, •) este corp comutativ, axiomele verificâdu-se imediat, ţinând cont de proprietăţile operaţiilor de adunare şi înmulţire a numerelor reale.

Adunarea are proprietăţile:

- asociativitatea (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) , z1, z2, z3 C

- există elementul neutru faţă de adunare, 0=(0,0) şi avem:

z+0=0+z , z C

- pentru orice z=(x,y) C există opus lui

–z (–x, –y) C atfel ca z+(-z)=(-z)+z=0

- comutativitatea z1+z2=z2+z1 , z1, z2 C

Înmulţirea are proprietăţile:

- asociativitatea (z1.z2).z3=z1.(z2.z3) , z1, z2, z3 C

- există elementul neutru faţă de înmulţire, 1=(1,0) şi avem:

z.1=1.z=0 , z C

- pentru orice z=(x,y) C–{(0,0)} există inversul lui notat sau z-1 astfel ca z.z-1=z-1.z=1

care se mai poate scrie (x,y)•(x’,y’) = (1,0) ceea ce ne conduce la sistemul:

cu soluţia şi pentru (x,y) (0,0);

- comutativitatea z1.z2=z2.z1 , z1, z2 C

Forma algebrică a unui număr complex este z = x + i y, unde x este partea reală şi se notează x = Re z, y este partea imaginară şi se notează y = Im z, iar i este unitatea imaginară, i = - 1.

Simbolul z identificând orice număr complex se numeşte variabilă complexă.

Mulţimea numerelor complexe se mai poate scrie astfel:

C = { x + i y | x, y R, i = -1

1.1.3. Definiţie. Dacă z=x+iy este un număr complex, atunci:

- conjugatul său, notat cu se defineşte ca fiind ;

- modulul său, notat cu |z| este numărul real nenegativ

1.1.4. Propoziţie. Oricare ar fi z1, z2, z C sunt verificate următoarele proprietăţi:

Exerciţiu. Demonstraţi proprietăţile algebrice 1 – 7.

1.2. Planul complex

Numerele reale se pot reprezenta prin punctele unei axe. Fie (d) o axă pe care am fixat o origine şi o unitate de măsură. Dacă asociem fiecărei punct al dreptei (d) abscisa sa, se obţine o funcţie bijectivă de la punctele acestei drepte în mulţimea numerelor reale. Un număr complex z = x + i y este determinat de două numere reale x şi y.

Dacă raportăm mulţimea punctelor dintr-un plan (P) la un sistem de axe de coordonate ortogonale xOy cu originea în O, aplicaţia definită pe C cu valori în (P), care duce elementul arbitrar (x, y) C în punctul M(x, y) este o bijecţie.

Punctul M se numeşte imaginea numărului complex z = (x, y) în planul (P), iar z se numeşte afixul lui M.

1.2.1. Definiţia. Planul ale cărui puncte se identifică cu numerele complexe prin funcţia bijectivă definită mai sus se numeşte planul complex.

1.3. Reprezentarea trigonometrică a numerelor complexe

Fie z = x + i y un număr complex şi M(x,y) imaginea sa geometrică. Notăm cu , iar cu unghiul format de axa reală pozitivă cu vectorul OM. Atunci

Forma trigonometrică a numărărului complex z se scrie astfel:

z = r(cos ө + i sin ө)

unde r = |z| = este modulul numărului complex, iar ө este unghiul făcut de direcţia pozitivă a axei Ox cu vectorul , numit argumentul lui z.

Ca argument al lui z poate fi considerat unghiul ө = ө + 2 π sau ө = ө - 2π precum şi orice unghi de forma : ө + 2 k π, cu k Z.

De aici rezultă că argumentul unui număr complex dat nu este unic, având o infinitate de valori ce diferă între ele printr-un multiplu de 2 π.

Mulţimea argumentelor lui z se notează cu Arg z şi are forma:

Arg z = { ө | ө = arg z +2kπ , k Z }

Determinarea lui arg z se face ţinând seama de cadranul în care se află numărul complex.

Exerciţii. Fie z1 = 1 + i , z2 = -1 + i , z3 = - 1- i , z4 = Să se determine r, arg z, Arg z şi să se scrie forma trigonometrică pentru fiecare.

1.3.1. Definiţie. Unghiul (0, 2 ) (sau ), măsurat între direcţia pozitivă a axei Ox şi direcţia vectorului , care se determină în mod unic ca soluţie a sistemului format din ecuaţiile şi (z 0), se numeşte argumentul principal al lui z şi se notează

1.3.2. Observaţii:

1. arg((0,0)) este nedeteminat

2. toate unghiurile θ ce determină direcţia vectorului se notează prin Arg z = arg z+2kπ, k Z şi se numeşte argumentul lui z.

În baza celor prezentate anterior rezultă forma trigonometrică a unui număr complex z C–{(0,0)}:

z = r (cos θ + i- sin θ),