Extras din laborator
3.1 Tema
^Intelegerea conceptului de "functie de matrice" si ^nsusirea principalelor metode si algoritmi de
calcul al functilor de matrice.
3.2 Functii de matrice
Consideram o functie f : D IC ! IC si e A 2 Cnn o matrice data. Ne propunem mai ^nt^ai
sa denim notiunea de functie de matrice adica semnicatia expresiei
F = f(A): (3.1)
Fie A(z) polinomul minimal al matricei A, i.e. polinomul monic de grad minim cu proprietatea
A(A) = 0, si i 2 C; i = 1 : l; zerourile acestuia av^and ordinele de multiplicitate mi.
Avem
A(z) = zm +
mX 1
k=0
izi =
Yl
i=1
(z i)mi (3.2)
unde m def = grad(A) =
Pl
i=1mi:
Denitia 3.1 Fie A 2 Cnn si
= f(i;mi) j i = 1 : l; i 2 C; mi 2 Ng (3.3)
multimea zerourilor polinomului minimal A al matricei A ^mpreuna cu multiplicitatile respective.
Daca functia f : D C ! C este analitica pe o multime deschisa D ce contine punctele
i ; i = 1 : l atunci spunem ca f este denita pe spectrul matricei A iar multimea valorilor
functiei f pe spectrul matricei A este
f() =
n
f(k)(i) j i = 1 : l; k = 0 : mi 1
o
: (3.4)
^In particular, o functie ^ntreaga f (i.e. analitica pe D = C) este denita pe spectrul oricarei
matrice A 2 Cnn.
2 LABORATOR 3. FUNCT II DE MATRICE
Desi introducerea notiunii de functie de matrice prin intermediul polinomului de interpolare
Lagrange-Sylvester este, probabil, mai intuitiva pentru un inginer, pentru evidentierea rapida
a unor proprietati utile ^n elaborarea unor proceduri de calcul efectiv, preferam urmatoarea
denitie.
Denitia 3.2 Fie (A) spectrul matricei A 2 Cnn si D C un domeniu cu frontiera
sucient de neteda astfel ^nc^at (A) D: Daca f este o functie analitica pe D [ atunci
F def = f(A) =
1
2i
I