Modelele Autoregresive Liniare

1. Introducere în analiza seriilor de timp

1.1. Definirea unei serii de timp

O serie de timp se reprezintă sub forma unei succesiuni de valori unde reprezintă nivelul caracteristicii la un moment dat sau pentru perioada de timp notată prin , iar este numărul de termeni din cadrul acesteia.

Fiecare valoare a seriei este realizarea unei variabile aleatoare Ansablul variabilelor aleatoare definesc un proces aleator. O serie de timp este discretă sau continuă după cum sau Astfel, dacă seria este discretă, iar dacă este continuă.

1.2. Serii de timp stationare şi nestaţionare

1.2.1. Serii staţionare

Definiţia 1. Un proces este strict staţionar dacă pentru orice , cu , definind axa timpul, şi oricare astfel încât avem că procesele şi au aceeaşi repartiţie.

De regulă în analiza seriilor de timp staţionaritate strictă este restrictivă recurgându-se de cele mai multe ori la staţionaritatea de ordinul m.

Definiţia 2. Un proces este staţionar de ordinul m dacă pentru oricare cu şi oricare astfel încât avem că pentru următoarele două procese şi se verifică egalitatea de medii:

unde parametrii verifică inegalitatea

Pentru staţionaritatea de ordinul întâi, caz în care iar , se obţine egalitatea mediilor:

Pentru un proces staţionar caracteristicile acestuia (medie, varianţă etc.) sunt constante în timp.

Proprietatea 1. Dacă , unde sau , este un proces staţionar, atunci acesta are următoarele proprietăţi:

Demonstraţie: din definiţia unui proces staţionar rezultă că primele două afirmaţii sunt evidente. Pentru a demonstra cea de a treia proprietate se ţine seama de următoarele afirmaţii: a) dacă cele două variabile sunt pătrat integrabile ( ) atunci este verificată relaţia următoare b) din inegalitatea lui Schwartz şi din a) rezultă că c) din definiţia covarianţa rezultă că pentru orice avem următorul rezultat d) dacă se consideră atunci , iar dacă rezultă . Prin rezultate obţine la ultimul punct avem că valoarea covarianţei nu depinde decât de decalajul în timp a celor două serii.

Ultima proprietate conduce la o nouă definiţie a staţionarităţii unui proces stochastic.

Definiţia 3. Un proces este staţionar de ordinul doi sau este slab staţionar, dacă acesta îndeplineşte următoarele trei proprietăţi:

Pentru un proces staţionar de ordinal doi realizările funcţiei de covarianţă sunt determinate de decalajul în timp şi nu de valorile efective ale seriei de timp.

Staţionaritatea de ordinul doi se mai numeşte şi staţionaritate în covarianţă. Acesta este mai slabă decât staţionaritatea de ordinul întâi.

Această formă de definire a stationarităţii este utilizată de regulă în analiza seriilor de timp din economie. Una din problemele întâlnite în analiza seriilor de timp este tocmai staţionarizarea acestora prin diverse transformări de date. În cadrul acestei lucrări vor fi prezentate diverse strategii folosite în acest sens.

Prin staţionarizarea unei serii de date se reduce numărul parametrilor modelului folosit pentru analiza acesteia. Astfel, în cazul în care urmează o repartiţie normală de dimensiune n , dacă nu este introdusă proprietatea de staţionaritate a procesului, atunci procesul este caracterizată prin intermediul parametrilor pentru . Numărul parametrilor în acest caz este egal cu În urma aplicării condiţiei de staţionaritate a procesului se reduce numărul parametrilor la întrucât se estimează numai parametri

Dacă seria de timp nu este staţionară, atunci prin transformări de date se poate obţine o serie de timp staţionară. De exemplu, seria de timp definită prin relaţia , unde este un zgomot alb, nu este staţionară întrucât media procesului definită prin nu este independentă de t.

Pentru a obţine o serie staţionară se aplică opertatorul diferenţă de ordinal întâi, rezultând seria:

Pentru seria transformată avem că:

1. media este independentă de timp, întrucât:

2. varianţa nu depinde de variabila timp deoarece :

3. covarianţa seriei este independentă de timp, întrucât:

Dacă sunt două serii staţionare, atunci seria definită prin relaţia liniară , cu nu este în general staţionară.