Metode Interpolare

1. Interpolari. generalitati

Valorile unei functii sunt cunoscute pentru mai multe perechi de puncte precum, . Cum putem determina valoarea functiei ‘y’ pentru orice alta valoare a lui ‘x’? O functie continua poate fi reprezentata pentru ‘n+1’ valori ale lui care trece prin cele ‘n+1’ puncte. Ulterior putem sa determinam valoarea functiei y pentru orice valoare a lui x, printr-o tehnica numita interpolare. Daca 'x' va fi in afara domeniului lui 'x' pentru care sunt date datele, tehnica este denumita extrapolare. In mod obisnuit, funtia ce trebuie aleasa, pentru interpolare, este un polinom, deoarece ele sunt usor de:

a) evaluat

b) derivat

c) integrat

in raport cu o serie sinusoidala sau exponential.

Interpolarea polinomiala implica gasirea unui polinom de ordinal ‘n’ care trece prin ‘n+1’ puncte, utilizand diferie metode.

2. Metoda de interpolare directa

Aceasta se bazeaza pe urmatoarele premize. Fiind date cele 'n+1' puncte, scriem polinomul de ordinul 'n' ca:

In care coeficientii a0, a1, . . ., an sunt numere reale. Deoarece cele 'n+1' valori ale lui y corespund celor 'n+1' valori ale lui x, numarul de ecuatii ce pot fi scrise este de ‘n+1’. Cei 'n+1' coeficienti constant pot fi determinate prin rezolvarea celor 'n+1' ecuatii lineare simultane. Pentru determinarea valorii lui ‘y’ la un ‘x’,dat, se inlocuieste valoarea lui ‘x’ in ecuatie. Deoarece nu se impune utilizarea tuturor datelor, odata ales ordinal polinomului care puncte se vor utiliza?

• Exemplul 1

Termistorii sunt utilizati pentru masurarea temperaturii corpurilor, si se bazeaza ope modificarea rezistentei materialului cu temperature. Pentru masurarea temperaturii furnizorii dau curba de calibrare a temperaturii cu rezistenta, asa incat daca se masoara rezistenta se poate preciza temperature.

R[Ω] T[ ]

1101.0 25.113

911.3 30.131

636.0 40.120

451.1 50.128

Sa se determine temperature coresounzatoare rezistentei de 754.8 Ω utilizand un polinom de ordinal intai (numita si metoda de interpolare linear).

Rezolvare:

Temperatura este data prin:

Deoarece vrem sa determinam temperature la R=754.8, vom alege doua puncte apropiate de R=754.8 respectiv, Ro=911.3 siR1=636.0, ceea ce conduce la:

Care rescrise sub forma matriciala

Si care prin rezolvare conduce la

Utilizand aceste date se obtine

• Exemplul 2

Utilizand datele din exemplul anterior sa se realizeze interpolarea printr-un polinom de ordinal doi sis a se determine eroarea relative aproximativa, in valoare absoluta, pentru acesasta metoda de interpolare.

Rezolvare:

Fie dat polinomul de ordinal doi, pentru interpolare, (numit si interpolare cuadratica):

Pornind de la faptul ca dorim determinarea temperaturii corespunzator rezistentei R=754.8, se vor allege trei puncte cat mai apropiate de aceasta valoare, respectiv R0=911.3, R1=636.0, R2=451.1.

Care rescrisa sub forma matriciala, da:

Si care prin rezolvare conduce la:

Pornind de la aceste date se obtine:

Eroarea relative aproximativa in valore absoluta care este obtinuta intre polinoamele de ordinal 1 si 2 este: