Matematică

Prin matrice intelegem o aplicatie A: I x J , unde I 1,2,...,m ; J 1,2,...,n , o

multime oarecare. Ea poate fi reprezentata printr-un tablou de elemente din ?, asezate pe linii si

coloane.

Pentru o matrice de tipul m x n vom folosi notatia:

11 12 1

21 22 2

1 2

.....

.....

A

..... ..... ..... .....

.....

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

(1.1.1)

Suprimand din matricea A, m - r linii si n - r coloane, obtinem o matrice patratica de

ordinul r. Determinantul acestei matrice se numeste minor de ordinul r al matricei.

Definitia 1.1.1. Numim rangul unei matrice A de tipul m x n (m n) un numar natural r

cu proprietatile:

a) in matrice exista cel putin un minor de ordinul r diferit de zero.

b) toti minorii de ordinul r + 1 sunt nuli.

Observatie. Se demonstreaza ca daca toti minorii de ordinul r + 1 sunt nuli, atunci sunt

nuli si toti minorii de ordin mai mare ca r + 1.

In continuare vom pune in evidenta operatii pe care le vom numi transformari elementare,

care se bucura de proprietatea ca nu modifica rangul unei matrice. Ele au la baza proprietatile

determinantilor.

1.1.2 TRANSFORMARI ELEMENTARE

Definitia 1.1.2. Numim transformare elementara aplicata unei matrice una din

urmatoarele operatii:

(T1) - inmultirea unei linii cu un scalar real nenul ( 0 );

(T2) - adunarea unei linii la o alta linie;

9

(T3) - schimbarea a doua linii intre ele.

Teorema 1.1.1. Transformarile elementare nu modifica rangul unei matrice.

Demonstratie. Fie matricea A de tipul m x n si matricele i T (i 1,3) care se obtin din

matricea unitate Im. Inmultind la stanga matricea A cu matricele i T obtinem matricele i i A T A .

Presupunem ca rangul matricei A este A r . Vom avea:

Ai Ti A A A r min (r ,r ) = min (m, r ) = r (1.1.2)

Din i i A TA, cum Ti sunt ineversabile gasim 1

i i A T A si deci:

Ai Ti A Ai Ai r min (r ,r ) = min (m,r ) = r (1.1.3)

Din (1.1.2) si (1.1.3) rezulta ca

Ai A r = r , i=1,3.

Definitia (1.1.3). Doua matrice A si B care se obtin una din alta prin transformari

elementare se numesc echivalente ( in privinta rangului) si scriem A B.

1.1.3. FORMA GAUSS - JORDAN A UNEI MATRICE

Fie A matricea unui sistem de m ecuatii algebrice liniare cu n necunoscute (m < n) .

Definitia 1.1.4. Matricea A se spune ca are forma Gauss-Jordan daca contine r (r m)

coloane ale matricei unitate de ordinul m.

Daca aceste coloane sunt 1 2 , ,....., r j j j atunci forma matricei este

' '

1 1

' '

2 2

' '

....1 .... 0 .... 0 ....

.... 0 .... 1 .... 0 ....

......................................

.... 0 .... 0 ....1 ....

0.. 0.... 0 .... 0 0 ....... 0

......................................

0.. 0.... 0 .... 0 0 ...

k n

k n

rk rn

a a

a a

A ? a a

.... 0

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

(1.1.4)

10

Teorema 1.1.2. Orice matrice nenula poate fi adusa la forma Gauss-Jordan, printrun

numar finit de transformari elementare.

Demonstratie. Fie deci matricea A de tipul m x n a unui sistem liniar de m ecuatii cu n

necunoscute.