Matematică

1. Sistemele de ecuatii diferentiale. Proprietati. Transformarea unui sistem de ordin superior intr-un sistem de ordinul intai. Teorema de existenta pentru sistemele de ecuatie diferentiale. Problema lui Cauchy. Metode de integrare a sistemelor ecuatiei diferentiale. Sisteme simetrice. Integrale prime. Metoda combinatiilor integrabile. Reducerea la o singura ecuatie. Metoda aproximatiilor succesive.

Definitie. Relatiile

(1)

; unde sunt trei functii definite pe , ca , formeaza un sistem de trei ecuatii diferentiale cu trei functii necunoscute , daca se cere sa se determine functiile definite pe un acelasi interval , derivabile pana la ordinul respectiv, functii care impreuna cu derivatele lor verifica ecuatiile (1) pentru orice .

Un sistem de trei ecuatii reale care indeplinesc aceste conditii se spune ca formeaza o solutie a sistemului (1).

Observatii

Daca cel mai putin nul din numerele este mai mare decat 1 ; sistemul (1) se numeste sistem de ordin superior; daca , atunci (1) este un sistem de ordin inati.

In mod asemanator se poate defini un sistem de ecuatii cu functiinecunoscute de ordin superior.

Daca sistemul (1) este rezolvat in raport cu derivatele de ordinul cel mai inalt, adica este de forma:

(1’)

Sistemul se numeste conic sau explicit.

2. Transformarea unui sistem de ordin superior intr-un sistem de ordinul intai.

Teorema 1

Un sistem de ecuatii diferentiale de ordin superior poate fi transformat intr-un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul intai, prin introducerea de noi functii necunoscute.

Demonstratie

Sa consideram sistemul (1’) de dinainte si sa introducem urmatoarele functii necunoscute:

Daca observam ca sistemul (1’) se transforma in sistemul de ordin intai.

si

Adica intr-un sistem canonic de ordinul intai cu ecuatii.

Teorema este demonstrata in general cu sistem de ecuatii cu functii necunoscute, canonic (sau nu) de ordin ecuatii de ordin intai canonic (sau nu).

Teorema 2. Rezolvarea unui sistem de ecuatii diferentiale de ordinul intai se poate reduce la rezolvarea unei ecuatii diferentiale de ordin si invers. Rezolvarea unei ecuatii de ordin se poate reduce la rezolvarea unui sistem de ecuatii diferentiale de ordin intai.