Curs statistică

Fie X1,X2,…,Xn v.a. de selectie repartizate ca v.a. X de densitate f X x; , x  R,    R .

A decide dacă este adevărată ipoteza nula H0 : ,    sau ipoteza alternativa

H1 :     este obiectul acestui capitol.

Desigur trebuie determinate şi erorile pe care le putem comite când luăm o decizie sau alta.

Definitie: W se numeste regiune critică daca atunci cand ˆ W => ipoteza H0 se respinge

în favoarea ipotezei H1).

În luarea deciziei se pot face greşeli cuantificate prin două tipuri de erori.

Definiţie. Eroarea de tipul I este probabilitatea de a respinge ipoteza H0 când ea este

adevărată. Notăm: α = P(resping H0 │ H0 adevărată).

Eroarea de tipul II este probabilitatea de a accepta ipoteza H0 când H0 este falsă. Notăm:

β = P(accept H0 │ H0 falsă).

Definiţie. Probabilitatea de a respinge H0 când H0 este falsă se numeşte puterea testului.

Notăm π = P(resping H0 │ H0 falsă).

Respingerea uneia dintre ipotezele H0 sau H1 inseamna automat acceptarea celeilalte.

In cele ce urmeaza vom considera cateva dintre situatiile particulare mai des intalnite ,in care

se verifica ipoteze asupra unor parametri ce apar in repartitiile clasice.

Determinarea regiunii critice

1. Repartiţia normală

a) Compararea mediei unei repartitii normale cu o valoare data (σ2 cunoscută)

Fie X1, X2, …, Xn o selecţie de populaţie N(m, σ2) cu σ2 cunoscut.

Ipoteza H0: m = m0, iar H1: m < m0 sau m > m0 sau m ≠ m0.

Se foloseşte statistica U X m n

~ N(0,1) pentru determinarea regiunii critice. Astfel

luând α eroare de primul tip

H0: m = m0 şi H1: m < m0 , regiunea critică :  

, 0 Z1

n

m unde Zα este quantila

α a repartiţiei N(0,1);        Z1 1 . Deci, dacă 

 Z

n

X m0 se respinge ipoteza H0.

Ipoteza H0: m = m0, iar H1: m > m0 conduce la regiunea critică

123

Z  ,

n

m0 1 unde       Z 1 1

Deci dacă 

0  Z1

n

X m se respinge H0 cu eroarea de tipul I egală cu α.

Ipoteza H0: m = m0 faţă de H1: m ≠ m0 se verifică cu crearea de tipul I egală cu α astfel încât:   PX m0  Cm  m0 1 P C  X m0  C

1 P C n X m0 n C n  

1 P  C n C n 2 1 C n

Rezultă regiunea critică  

Z  ,

n 1 , unde Z1 2 1  2 .

Decizia este: dacă 0 Z1 2

n

X m 

  se respinge H0.

b) Compararea mediei unei repartitii normale cu o valoare data (σ2 necunoscută)

Fie X1, X2, …, Xn o selecţie de populaţie N(m, σ2) cu σ2 necunoscută.

Pentru verificarea diferitelor ipoteze asupra mediei repartiţiei normale se face folosi