Econometrie

Seminar 1 – ECONOMETRIE

Elemente Recapitulative de Probabilităţi şi Statistică Matematică

Variabile aleatoare discrete sau continue unidimensionale.

-Funcţia densitate de probabilitate

-Funcţia de repartiţie

-Media . Proprietăţile mediei.

-Dispersia . Proprietăţile dispersiei.

Variabile aleatoare bidimensionale.

-Covarianţa dintre X şi Y

-Coeficientul de corelaţie dintre X şi Y.

Distribuţii de probabilitate teoretice importante

1) Distribuţia Normală, cu parametrii şi ( )

Spunem că o v.a. are o distribuţie normală de parametrii şi şi notăm prin , dacă are funcţia densitate de probabilitate (pdf) de forma , .

Funcţia densitate de probabilitate a distribuţiei normale cu media şi abaterea standard are următoarele proprietăţi:

-Este simetrică faţă de dreapta . Datorită simetriei, modul, mediana şi media distribuţiei normale sunt egale. Valoarea medie este cea mai probabilă valoare a unei variabile cu distribuţie normală. Cele mai multe valori ale acestei variabile sunt în mijlocul distribuţiei. Media poate lua orice valoare: negativă, zero, pozitivă.

-Este unimodală: derivata sa este pozitivă pentru , negativă pentru şi zero numai dacă

-Punctele şi sunt puncte de inflexiune (unde derivata de ordinal doi este zero)

-Domeniul valorilor sale este de la la , astfel încât fiecare interval de numere reale are o probabilitate diferită de zero. Curba normală se extinde, fără a atinge axaOx, în ambele direcţii, de la la .

O variabilă aleatoare normală poate lua orice valoare pe dreapta reală, astfel încât

- Aria totală de sub curba care reprezintă trebuie să fie egală cu 1.

Media variabilei este iar varianţa (dispersia) eate . Media determină poziţia distribuţiei în raport cu axa Ox, iar dispersia arată gradul de aplatizare a conturului reprezentării grafice.

 Distribuţia normală cu media 0 şi abaterea medie pătratică 1 este un caz particular al distribuţiei normale şi se numeşte distribuţia normală standard, distribuţia normală normată sau distribuţia normală redusă. Toate distribuţiile normale pot fi reduse la distribuţia normală standard folosind transformarea

, unde şi .

 Combinaţiile liniare ale variabilelor normal distribuite sunt normal distribuite.

 Regula empirică#1 şi distribuţia normală (Regula 68-95-99,7 pentru distribuţiile normale)

Regula empirică afirmă că, pentru o distribuţie normală:

68,2% din observaţii se vor afla între şi , adică în interiorul unei abateri standard de la medie.

95,4% din observaţii se vor afla între şi , adică în interiorul a două abateri standard de la medie.

Aproape 99.7% din observaţii se vor afla între şi , adică în interiorul a trei abateri standard de la medie.

0,682

0,954

0,997