Distribuția binomială și poisson

1.ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR

Teoria matematică a probabilităţilor porneşte de la faptul că fiecărui rezultat posibil al unui experiment aleator, rezultat pe care îl vom denumi eveniment, i se asociază o valoare numerică, numită “probabilitatea” evenimentului respectiv. Această valoare este o caracteristică obiectivă a evenimentului în condiţiile experimentului dat.

Să efectuăm, de exemplu, un experiment de m ori. Dacă în cele m experienţe un eveniment A s-a produs de k ori, atunci 0 ≤ k ≤ m, de unde rezultă pentru frecvenţa relativă:

0 ≤ ≤ 1,

adică frecvenţa relativă a unui eveniment este întotdeauna un număr cuprins între 0 şi 1.

Ţinând cont că frecvenţa relativă oscilează în jurul probabilităţii evenimentului considerat şi că probabilitate este acea caracteristică a evenimentului care ne indică în ce proporţii se produce evenimentul în cazul repetării experimentului de un număr foarte mare de ori, rezultă că şi probalitatea este tot un număr între 0 şi 1.

Din definiţia probabilităţii ca generalizare a conceptului de frecvenţă relativă, rezultă că probabilitatea unui eveniment imposibil este 0, iar probabilitatea unui eveniment sigur este 1.

Evenimentele pot fi simple, în sensul că nu se pot descompune mai departe, sau compuse din alte evenimente ce se petrec simultan. În acest context putem considera două operaţii între evenimente.

Scriem A B şi înţelegem prin aceasta un eveniment care constă în producerea evenimentelor A şi B, simultan. Scriem A B pentru cazul când se produce cel puţin unul din cele două evenimente.

Fiind date două rezultate A şi B ale unui experiment efectuat de n ori, să presupunem că A s-a obţinut de ori şi B de ori. Evenimentul A B, deci obţinerea unui eveniment din cele două rezultate, s-a obţinut ca atare, de = + ori, ceea ce sugerează o regulă de tipul

Probabilitate (A B) = Probabilitate (A) + Probabilitate (B)

2.DISTRIBUTIA BINOMIALA

Este utilizată pentru a afla probabilitatea ca un rezultat să se întâmple de un numărde s ori, din n repetări ale unui experiment. Este un caz particular al unei variabile aleatoare discrete, cu restricţia suplimentară că valorile pornesc întotdeauna de la zero absolut (altfel spus, se poate întâmpla ca din n repetări, rezultatul s să nu se întâmple niciodată).

Exemplu.: aruncarea cu banul, 8 repetări.

Noţiunea de „succes”: numim succes doar unul din rezultatele posibile, celălalt rezultat fiind denumit „eşec”.

Ex.: dacă nimeresc „cap” atunci spun că am un succes.

Notaţii:

p = probabilitatea de succes

q = probabilitatea de eşec

Întotdeauna: p + q = 1