Doua Probleme ce au Caracterizat un Întreg Secol de Teorie a Laticelor

Prefată

DOUA PROBLEME CE AU CARACTERIZAT

UN ÎNTREG SECOL DE TEORIE A LATICELOR

Un întreg secol de teorie a laticei a fost definit in mare măsura de doua probleme. Acest articol introductiv defineşte conceptele de baza, introduce aceste doua probleme si descrie efectul lor asupra teoriei laticei.

In Partea 1 si 3 exista o foarte scurta introducere a conceptelor de baza. Cititorul poate găsi o introducere mult mai detaliata in Partea 1 din cartea mea din 2006, „Congruentele unei Latice Finite [7]” si de asemenea o tratare completa a subiectului in cartea mea din 1998, „Teoria Generala a Laticelor”, ce-a de-a doua ediţie [6].

Cele doua zone pe care le discutam sunt

Latici unic complementare: discutate in Partea a 2-a.

Latici congruente din latici: discutate in Partea a 4-a.

Cele doua probleme, personalităţile si epocile sunt complet diferite pentru soluţia acestor doua probleme. Insa de asemenea, ele ne împărtăşesc o mulţime de lucruri.

Fiecare problema exista de timp de jumătate de secol. Nu este clar – sau cunoscut – cine a propus-o prima oara. Totuşi, cu toţii cunoaştem problema respectiva. Cu toţii ne aşteptam la o soluţie pozitiva. Si apoi tocmai atunci cineva depaşeste psihologia problemei si forţează din răsputeri sa se ajungă la o soluţie negativa. Totuşi, soluţia negativa se pare ca necesita idei noi inovatoare si practic este foarte complicata.

Confirmările. Am primit manuscrise, notiţe de discurs, corecţii de la un număr de indivizi, inclusiv de la H. Lakser, W. A. Lampe, R. Padmanabhan, V. Pratt, R. W. Quackenbush si F. Wehrung. In chestiunile istorice, am fost consiliat de J. B. Nation.

Imi face o deosebita placere sa multumesc Domnului profesor doctor universitar al Facultatii de Matematica-Informatica a Universitatii din Craiova, Dumitru Buşneag, pentru sprijinul acordat.

Craiova,

05.06.2008

Absolvent,

Partea 1

1. Elemente de teorie a laticelor

1.1. CONCEPTE DE BAZA

Ordini.

O ordine (sau A, daca ≤ se subînţelege) consta dintr-o mulţime A ne-goala si o relaţie binara ≤ la A (adică, o submulţime din A2) –

numita ordonare – astfel încât relaţia ≤ este reflexiva (a ≤ a, pentru toate ; antisimetrica (a ≤ b si b ≤ a implica a = b, pentru toate

si tranzitiva (a ≤ b si b ≤ c implica a ≤ c , pentru toate O ordine care este liniara (a ≤ b sau b ≤ a, pentru toate se numeşte lanţ (catena).

Intr-o ordine P, elementul este o legătura superioara a lui

daca pentru toate O legătura superioara din H este cea mai

mica legătura superioara din H daca, pentru orice legătura superioara din H, avem Vom scrie Conceptele de legătura inferioara si legătura cea mai mare inferioara (denotata de sunt definite in mod similar. Folosim notarea si si numim uniunea si reuniunea elementelor a si b.

Latici.

O ordine L (sau L, daca si sunt subînţelese) este o latice daca si exista întotdeauna. In latici, uniunea si reuniunea sunt ambele operaţii binare, care presupun posibilitatea punerii lor in aplicare in cazul unei perechi de elemente a, b din L pentru a rezulta din nou un element al lui L. Ele sunt idempotente pentru orice comutative pentru orice asociative pentru orice si împreuna ele satisfac identităţile de absorbţie pentru orice O algebra L = este o latice daca L este o mulţime ne-goala, si sunt operaţii binare la L, ambele si sunt idempotente, comutative si asociative si împreuna ele satisfac cele doua identităţi de absorbţie.